вывод формулы погрешности

[randy]

Имеется формула расчета показателя преломления $n=1+R/f$, где $R$-радиус кривизны рассчитывается по показаниям сферометра (измеряют два параметра по сферометру), а f- фокусное расстояние, рассчитывается с помощью зрительной трубы (измеряется одна величина).
Как в данном случае следует рассчитывать погрешность рассчета $n$

[Tookser]

Хорошо бы еще знать погрешность $R$ или формулу для вычисления.
Если же погрешности R и f известные, то нужно лишь взять производную по $R$, потом умножить ее на погрешность от $R$. Далее точно так же с $f$. Будет две погрешности, скорее всего, их можно сложить и полученный результат использовать как погрешность величины $n$. (Поправьте меня или дополните, могу чего-то недоговаривать.)

Разумеется, у Вас может быть ситуация, когда подобный способ неприменим (зависит от формулы, методики эксперимента, возможна систематическая погрешность, неустранимая подобным способом и т.д.)

[randy]

формула для $R=\frac {a^2}{6h}+\frac{h}{2}$
то есть порядок такой?:
1. Рассчитываем погрешность величины $R$
1). Берем частную производную по $a$, домножаем на погрешность $a$, полученный результат рассчитываем по средним значениям $a$ и $h$. В качестве погрешности $a$ берем половину цены деления.
2). Берем частную производную по $h$, домножаем на половину цены деления $h$. Рассчитываем опять же по средним значениям $a$ и $h$
3). В качестве погрешности $R$ считаем сумму подпунктов 1) и 2)
2. Рассчитываем погрешность $n$ по тем же правилам, что и в пункте 1, в качестве погрешности на $f$ берем половину цены деления.

[nestoronij]

В этой формуле проще найти сразу абсолютную погрешность. Возмите частные производные, как советовали и :
$ \Delta n = \sqrt {(\frac {1} {f}\Delta R)^2 + (\frac {R} {f^2}\Delta f)^2$
Конечно, должны быть известны абсолютные погрешности на радиус и фок. расстояние.

[randy]

nestoronij в сообщении #769016 писал(а):

В этой формуле проще найти сразу абсолютную погрешность. Возмите частные производные, как советовали и :
$ \Delta n = \sqrt {(\frac {1} {f}\Delta R)^2 + (\frac {R} {f^2}\Delta f)^2$
Конечно, должны быть известны абсолютные погрешности на радиус и фок. расстояние.

дак какая формула верная? по частным производным, или ваша (без них)?

[nestoronij]

$\frac {\partial n} {\partial R }= \frac {1} {f}$
$\frac {\partial n} {\partial f }= -\frac {R} {f^2}$

[randy]

nestoronij в сообщении #769136 писал(а):

$\frac {\partial n} {\partial R }= \frac {1} {f}$
$\frac {\partial n} {\partial f }= -\frac {R} {f^2}$

а откуда корень тогда и квадраты частных производных?

[nestoronij]

Это средне квадратичное отклонение, (теория вероятностей) определяемое по формуле:
$ \Delta f = \sqrt {(\frac {\partial f(x,y,...z)} {\partial x} \Delta x)^2 ...$
и т. д. по всем переменным. Посмотрите любую методичку в любом ВУЗе: методы обработки косвенных измерений.

[randy]

nestoronij в сообщении #769185 писал(а):

Это средне квадратичное отклонение, (теория вероятностей) определяемое по формуле:
$ \Delta f = \sqrt {(\frac {\partial f(x,y,...z)} {\partial x} \Delta x)^2 ...$
и т. д. по всем переменным. Посмотрите любую методичку в любом ВУЗе: методы обработки косвенных измерений.

ну согласитесь, то что написали вы и Tookser будет иметь разные ответы

[fizeg]

Неужели проблема заменить буковки в формуле на те, что встречаются в задаче? Или непонятно, что у nestoronij
сумма под корнем по всем переменным?

[randy]

fizeg в сообщении #769193 писал(а):

Неужели проблема заменить буковки в формуле на те, что встречаются в задаче? Или непонятно, что у nestoronij
сумма под корнем по всем переменным?

то что под корнем уже расписано $\Delta n = \sqrt {(\frac {1} {f}\Delta R)^2 + (\frac {R} {f^2}\Delta f)^2$
просто первый товарищ предлагал рассчитывать погрешность таким же образом, только без корня и вторых степеней. он не прав получается?

[nestoronij]

Tookser написал всё правильно, ... т.е. Вам подкинули мысль, а дальше как хотите. Но, то что я Вам предложил - обычные методы.

[fizeg]

(Оффтоп)

А. Понял. Опять людей спутал

-- 30.09.2013, 00:16 --

Tookser
nestoronij
Если имеется ввиду
$\Delta f= \sum_i \Big|\frac{\partial f}{\partial x_i}\Big|\Delta x_i$, то нечто подобное у меня разве что вызывает смутные воспоминания с самого начала первого курса... По крайней мере среднеквадратичную формулу можно достаточно легко получить разложив дисперсию функции в ряд Тейлора.

[nestoronij]

Да всё гораздо проще, это полный дифференциал функции.

[fizeg]

nestoronij
ммм... и как все-таки вы такую оценку обоснуете?