Паранормальные числа

[Sirion]

Как известно, нормальное число по основанию $b$ - это число, в $b$-ичной записи которого любая $k$-значная последовательность цифр встречается с асимптотической плотностью $b^{-k}$ для всякого $k$.

Большинство чисел, с которыми мы имеем дело, не является нормальными, поскольку для некоторых (или всех) последовательностей асимптотические плотности отличаются от указанных. Однако может возникнуть ситуация, когда некоторая последовательность не имеет асимптотической плотности вообще.

Паранормальным по основанию $b$ назовём число, в $b$-ичной записи которого ни одна последовательность цифр не обладает асимптотической плотностью. Существуют ли паранормальные числа? Если да, то сколько их (мощность, мера)?

[venco]

Берём произвольное действительное число. Вставляем после первой цифры после запятой один ноль, после следующей две единицы, потом четыре двойки, восем троек, и так далее, перебирая все цифры по кругу. Если я не ошибаюсь, получится как раз паранормальное число.

[Sirion]

Таки ошибаетесь. Последовательность 010 в этой записи никогда не встретится - значит, имеет асимптотическую плотность, равную 0.

[ИСН]

Ну значит, перебираем не цифры, а тупо все числа. 9, потом 10, 11, 12...

-- менее минуты назад --

(Оффтоп)

...потом 10000...

[Sirion]

Перебираем все числа - это, простите, как? Можно подробнее?

[ИСН]

Ну как. В естественном порядке. Следуем по описанию venco до девяток. После них ставим вдвое больше... десяток (последовательностей "один, ноль"). И т.д. Так у нас уж точно встретится любая последовательность. А наличие чисел, в которых её нет, не даст её плотности иметь предел.

[Sirion]

В принципе, наверно, да. Но мне лично отсутствие плотности не вполне очевидно. При таком построении с ней будут происходить странные вещи.

[ИСН]

Не, ну почему странные. Какие просили, такие и будут. Любое число, которое содержит нашу последовательность в себе или на стыке себя с собой (а такие числа не кончатся никогда), будет подбрасывать её удельную встречаемость вверх. Любое, где её нет (а такие тоже никогда не кончатся) - сбрасывать вниз. Так она и будет болтаться.