Разложить многочлены на множители

[Tarsik]

Разложить многочлены вида :
$X(Y^2-Z^2) +Y(Z^2-X^2) + Z (X^2-Y^2)$
$A ^{10}+A ^5+1$

[нг]

Tarsik
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

Пожалуйста, исправьте и сообщите модератору (ЛС).

[нг]

возвращена

[незваный гость]

В первом логично проверить, что произойдет если $X=Y$ (и что это значит в терминах множителей).

Второй пример несколько хитрее: он основан на том, что $x^{p q} - 1$ делится и на $x^{p} - 1$, и на $x^{q} - 1$. Вам выражение не напоминает никакое стандартное тождество?

[Tarsik]

Спасибо за подсказку . Действительно если предположить что $X=Y$, то выражение будет виглядеть так
$XY^2-XZ^2+YZ^2-YX^2$. то єсть будет равно нулю. Отсюда можна предположить, что первий умножатель равен
${(Y-X)}$. Єстественно если предположить что $Y=Z$, тогда
выражение вновь будет равно нулю.При $Z=X$ выражение равно также нулю. Отсюда ето будет виглядеть так:
${(Y-X)(Y-Z)(X-Z)})$.
Второй же пример я не знаю как решить. К сожаленью мне ваша подсказка не совсем понятна. Я предполагаю что етот пример можна решить так:
$A^{10}+A^5+1=$виделяем полный квадрат$= (A^{10}+2A^5+1)^2-A^5=(A^5+1)^2-(A^{2,5})^2=(A^5+A^{2,5}+1)(A^5+A^{2,5}-1)$.
Но я не уверен что ето правильное решение.Подскажите.

[juna]

Поделите искомый многочлен на $A^2+A+1$, получится правильное решение.

[незваный гость]

Tarsik писал(а):

Отсюда можна предположить, что первий умножатель равен

Отсюда следует. А для того, чтобы найти остальные множители, следует исходное выражение разделить на найденный множитель. Ответ, кстати, неверный.

Tarsik писал(а):

Второй же пример я не знаю как решить.

А если $A^5 \to x$? Вам этот полином нигде не встречался?

[juna]

незваный гость писал(а):

А если $A^5 \to x$? Вам этот полином нигде не встречался?

Да больно корни нелицеприятные. Куда проще
$(A^2+A+1)*B=A^{10}+A^5+1$. Осталось найти $B$ по алгоритму деления многочленов (делятся без остатка)

[Дмитрий Хованский]

Кстати, задача о разложении многочлена $x^{10}+x^5+1$ на множители, "по преданию" придумана Колмогоровым для развития "алгоритмических способностей (нахождения удачных, нестандартных путей преобразования сложных выражений, решения уравнений)".

По материалам книги "Беседы о математике и математиках", Б. М. Писаревский, В. Т. Харин.

[незваный гость]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Да больно корни нелицеприятные. Куда проще

А зачем корни? достаточно тождества выше.

[Tarsik]

Цитата:

А если $A^5 \to x$? Вам этот полином нигде не встречался?

К сожаленью я еще не знаком с етим полиномом.

[juna]

Т.е. квадратное уравнение вы не видели?
Дальше можно подсказать, что $x^2+x+1=\frac{x^3-1}{x-1}$

[Tarsik]

Спасибо Ю.Н.Артамонову и незваному гостью за помощь.