Выразить sin4φ, используя формулу Муавра

[Dellghin]

Здравствуйте, задание:
Используя формулу Муавра, выразить через $\cos \varphi $ и $\sin \varphi $ функцию $\sin 4 \varphi$.
Пришел к уравнению $(\cos \varphi + i\sin \varphi)^4=\cos 4 \varphi + i\sin 4 \varphi$. Далее раскрыл $\cos 4 \varphi $ и левую скобку по биному Ньютона, получилось уравнение:

$\sin4\varphi=\cos \varphi \sin \varphi (4\cos^2\varphi-24\sin^2\varphi + i(4\cos\varphi\sin\varphi - 2))$. Правильно ли это?

[Someone]

Dellghin в сообщении #768049 писал(а):

раскрыл $\cos 4 \varphi $

А зачем?

Dellghin в сообщении #768049 писал(а):

Пришел к уравнению $(\cos \varphi + i\sin \varphi)^4=\cos 4 \varphi + i\sin 4 \varphi$.

Это правильно.

Dellghin в сообщении #768049 писал(а):

$\sin4\varphi=\cos \varphi \sin \varphi (4\cos^2\varphi-24\sin^2\varphi + i(4\cos\varphi\sin\varphi - 2))$. Правильно ли это?

А это ерунда.

Вы можете сформулировать условие равенства двух комплексных чисел? Когда $a+bi=c+di$?

[Sinoid]

После раскрытия левой скобки по биному, нужно отдельно группировать действительные и мнимые члены, а потом приравнять мнимые части, так что в ответе $i$ хоть как не остается.

[Someone]

(Sinoid)

Извините, но нельзя уж так сразу решение излагать. Помочь додуматься надо, но не сводить задачу к тупому переписыванию.

[Sinoid]

(Оффтоп)

Дело в том, что у меня пока узкий математический кругозор (я занимаюсь самообразованием), а развиваться и поболтать ну очень хочется

[Dellghin]

Получается так:
$\sin4\varphi=4\cos \varphi \sin \varphi (\cos^2\varphi-6\sin^2\varphi)$.
Но если подставить число, то правая часть не равна левой...

[Ms-dos4]

Как вы их так раскрываете? По обычному биному Ньютона имеем

$\[{(cos\varphi + i\sin \varphi )^4} = {\cos ^4}\varphi + 4i{\cos ^3}\varphi \sin \varphi - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi - 4i\cos \varphi {\sin ^3}\varphi + {\sin ^4}\varphi \]$

Нам нужна мнимая часть. Имеем

$\[\sin 4\varphi = 4\cos \varphi \sin \varphi ({\cos ^2}\varphi - {\sin ^2}\varphi )\]$

[Dellghin]

Извините, ошибся...
Всем спасибо!