Пара задач по алгебре (гомоморфизмы и идеалы)

[dsacode]

Добрый день! Можем быть кто-нибудь может помочь с этими задачами?

1) Каким образом можно находить группы гомоморфизмов? Например, Hom(Z_{12}, Z_5). И откуда следует что выполнено св-во Hom(A_1 + A_2,B) = Hom(A_1,B) + Hom(A_2,B)?

2) Как можно показать, что если A -- конечная коммутативная алгебра с единицей над
полем K и B -- подалгебра в A, то для всякого максимального идеала I в A
пересечение B\cap I является максимальным идеалом в B,
и каждый максимальный идеал в B имеет такой вид.

Поправил название на более информативное. Dan_Te

[tolstopuz]

dsacode писал(а):

1) Каким образом можно находить группы гомоморфизмов? Например, Hom(Z_{12}, Z_5).

Группа $Z_{12}$ порождена элементом $a$ и соотношением $a^{12} = e$. Образ $a'$ этого элемента при гомоморфизме тоже должен удовлетворять соотношению $a'^{12} = e$, то есть его порядок должен быть делителем 12. А в $Z_{12}$ такой элемент только один - $e'$, остальные имеют порядок 5. Так что гомоморфизм только один - тривиальный.

dsacode писал(а):

И откуда следует что выполнено св-во Hom(A_1 + A_2,B) = Hom(A_1,B) + Hom(A_2,B)?

Строгое доказательство есть в любом учебнике, поэтому попробую объяснить наглядно.
Элементы $A_1 \oplus A_2$ - это просто пары элементов $A_1$ и $A_2$ с почленным сложением. Поэтому элемент $Hom(A_1 \oplus A_2,B)$, то есть гомоморфизм из $A_1 \oplus A_2$ в $B$ - это фактически пара независимых гомоморфизмов по каждой компоненте, то есть пара элементов $Hom(A_1,B)$ и $Hom(A_2,B)$. А так как для гомоморфизмов абелевых групп определена структура группы, то мы можем назвать эту пару элементом $Hom(A_1,B) \oplus Hom(A_2,B)$.
Теперь заменяем слова "это фактически" и "назвать" выражением "отождествить каноническим изоморфизмом", и остается только записать в буковках и проверить, что получился действительно изоморфизм.

[lofar]

1) ${\rm Hom}(\mathbb{Z}_{12},\mathbb{Z}_{5})=0$

2)Имеет место не равенство, а канонический изоморфизм (в категории абелевых групп)

$$ {\rm Hom}(A_1\oplus A_2,B)\cong{\rm Hom}(A_1,B)\oplus{\rm Hom}(A_2,B). $$

Строится он так. Гомоморфизму $\alpha\colon A_1\oplus A_2\to B$ ставится в соответствие пара гомоморфизмов $(\alpha_1,\alpha_2)$, где гомоморфизмы $\alpha_i\colon A_i\to B$ определены соотношениями $\alpha_1(a_1) = \alpha((a_1,0))$ и $\alpha_2(a_2) = \alpha((0,a_2))$.


Вообще, гомоморфизмы из ${\rm Hom}(A_1\oplus\ldots\oplus A_m,B_1\oplus\ldots\oplus B_n)$ можно рассматривать как матрицы вида

$$ \left( \begin{array}{ccc} f_{11} &\ldots&f_{1m}\\ \multicolumn{3}{c}{\dotfill}\\ f_{n1} &\ldots&f_{nm} \end{array} \right), $$

где $f_{ij}\in{\rm Hom}(A_j,B_i)$. При этом, если прведенная выше матрица соответствует гомоморфизму $f$\in{\rm Hom}(A_1\oplus\ldots\oplus A_m,B_1\oplus\ldots\oplus B_n)$, то для любого элемента $(a_1,\ldots,a_m)\in A_1\oplus\ldots\oplus A_m$ образ относительно $f$ можно вычислить как произведение матрицы на вектор:

$$ f((a_1,\ldots,a_m))=\left( \begin{array}{ccc} f_{11} &\ldots&f_{1m}\\ \multicolumn{3}{c}{\dotfill}\\ f_{n1} &\ldots&f_{nm} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_1\\ \vdots\\ a_m \end{array} \right). $$

3) Утверждение верно не тольео для конечных, но и для конечномерных алгебр.
Доказательство. Пусть $I\lhd A$ --- максимальный идеал. Рассмотрим гомоморфизм алгебр
$ B\to A/I$, $b\mapsto b+I$. Ядро этого гомоморфизма есть $B\cap I$ значит $B/(B\cap I)$ вкладывается в $A/I$. $A/I$ --- поле, поэтому $B/(B\cap I)$ не имеет делителей $0$. Следовательно $B/(B\cap I)$ --- поле и $B\cap I$ --- максимальный идеал.

Пусть теперь $J$ --- произвольный максимальный идеал из $B$. Пусть $I$ --- идеал в $A$ порожденный $J$. Имеют место включения $J\subseteq B\cap I\subseteq B$. Поскольку $1\notin B\cap I$, то $J = B\cap I$, что дает искомое представление для $J$.


Долго же я все это писал! tolstopuz успел ответить.

[dsacode]

Огромное спасибо за столь исчерпывающие ответы!

А как в общем случае рассмотреть группы Hom(Z_i,Z_j)? Я правильно понимаю,
что она будет изоморфна Z_x, гдe x -- количество возможностей отобразить
единицу из Z_i в Z_j?

[tolstopuz]

dsacode писал(а):

А как в общем случае рассмотреть группы Hom(Z_i,Z_j)? Я правильно понимаю, что она будет изоморфна Z_x, гдe x -- количество возможностей отобразить единицу из Z_i в Z_j?

Ну да, не единицу в смысле единичного элемента, а число 1 или какой-нибудь другой генератор. А допустимые образы генератора - те, порядок которых является делителем $i$, и они образуют единственную циклическую подгруппу $\mathbb{Z}_j$ порядка $gcd(i, j)$, то есть порядок ${\rm Hom}(\mathbb{Z}_i,\mathbb{Z}_j)$ тоже равен $gcd(i, j)$. Можно отобразить 1 в любой генератор этой подгруппы - получившийся гомоморфизм будет генератором ${\rm Hom}(\mathbb{Z}_i,\mathbb{Z}_j)$, потому что его порядок тоже равен $gcd(i, j)$. То есть ${\rm Hom}(\mathbb{Z}_i,\mathbb{Z}_j)$ действительно циклическая.

Например, ${\rm Hom}(\mathbb{Z}_{12},\mathbb{Z}_{30})\cong\mathbb{Z}_6$, так как образом 1 может быть любой элемент порядка 1, 2, 3 или 6, то есть 0, 5, 10, 15, 20 или 25 (любой другой образ, умноженный на 12, не даст 0). То есть умножение на 5 является генератором ${\rm Hom}(\mathbb{Z}_{12},\mathbb{Z}_{30}) - остальные пять гомоморфизмов кратны ему.