Треугольники на окружности

[m_victor]

Вне окружности радиусом 6 находятся несколько равносторонних треугольников со следующими свойствами

• Для каждого треугольника одна из его вершин лежит на окружности
• Треугольники не перекрывают друг друга
• Два соседних треугольника имеют общую точку в вершине, не лежащей на окружности.

Найти максимальное количество таких треугольников и доказать, что в таком случае первый и последний треугольники касаются.

[_Ivana]

Напоминает известную сказку "Жадный богач" (где дошло до 7 шапок из овцы и на этом почему-то остановилось. Нынешние богачи, думаю, шапок 7000 бы захотели )

[gris]

Наверное, у треугольников есть ещё какое-то свойство. Или надо найти минимальное количество?

[Cash]

Соединив все точки треугольника с центром окружности, посмотрим: в каком случае такая "центральная проекция" на окружность будет минимальной. У двух треугольников проекции пересекаются только в одной точке.

-- Ср сен 25, 2013 08:29:16 --

И да, gris прав. Стороны треугольников, наверное, должны быть заданы.

[m_victor]

Вы правы - стороны треугольников тоже 6.

[gris]

То есть что-то типа такого? Со строгим доказательством, конечно, пересечения в вершинах и на окружности.
Это не решение, а попытка понять условие. Мне кажется, что при всём старании поместить отличное от 12 число треугольников трудно. Или я ошибся в интерпретации?

(Оффтоп)

Чего-то это мне напоминает... А, ну, конечно, солнечное затмение! Да.

[m_victor]

Условие Вы пооняли правильно. У меня тоже 12 получилось, но каким образом это доказать не знаю.

[gris]

Если треугольники расположить правильно, то есть на равных расстояниях с высотами нормально к окружности, то несложно посчитать проекцию (в угловых единицах), о которой говорил Cash. Там внешний угол в равнобедренном треугольнике, и получается, вроде бы, то, что нужно.
Но вот если поворачивать треугольники, как у меня на картинке, то можно ли изменять проекции? Треугольник нельзя сильно поворачивать, больше, чем на $30$ градусов, иначе не будет соприкосновения в вершине с соседним. Ну вот тут посмотрите, будет ли про повороте изменяться проекция? И можно ли получить другое количество треугольников. Мне кажется, сработают внешние углы.

[Cash]

Если $O$ - центр окружности, правильный $\triangle ABC$ с вершиной $A$ на окружности, то $A$ будет центром окружности, описанной около $\triangle OBC$. Дальнейшее, надеюсь, просто.

[Батороев]

Cash в сообщении #767711 писал(а):

Если $O$ - центр окружности, правильный $\triangle ABC$ с вершиной $A$ на окружности, то $A$ будет центром окружности, описанной около $\triangle OBC$. Дальнейшее, надеюсь, просто.

Красиво!!!