Помогите разобраться доказательством предела по Коше

[Dozer74]

Здравствуйте! Объясните, пожалуйста, как доказывать предел по определению Коше?
Имеется задача: Доказать по определению Коше, что $\lim_{x\to 2} x^2=4$. Какого должно быть $\delta $, чтобы из $|x-2|<\delta$ следовало $|y-4|<\varepsilon=0.001$?
Моя попытка решения:
1) Получаем неравенства:
$|x-2|<\delta$
$|x^2-4|<\varepsilon$
2) раскрываем модули:
$-\delta<x-2<\delta$
$\sqrt{4-\varepsilon}-2<x-2<\sqrt{4+\varepsilon}-2$
3) приравниваем левые и правые части:
$\delta_1 = 2-\sqrt{4-\varepsilon}$ - эта больше
$\delta_2 = \sqrt{4+\varepsilon}-2$ - эта меньше
4) положим, что:
$|x-2|<\delta_2= \sqrt{4+\varepsilon}-2$
А вот что делать дальше, я не знаю. Нужно просто подставить 0,001 вместо $\varepsilon$ и посчитать $\delta$?

[provincialka]

Вообще-то не принято для исследования функции $x^2$ использовать функцию"корень". По-хорошему, существование и свойства корня выясняются через свойства квадрата, которые должны быть доказаны независимо от него, только с помощью арифметических операций.
Разложите разность квадратов на множители и оцените сумму $x+2$. Используя эту оценку, найдет оценку и для $x-2$.

(Оффтоп)

Кстати, все-таки Коши, а не Коше. И $\delta$ не "какого", а "каково?"

[bot]

(Оффтоп)

Здесь слово выпало: какого хрена должно быть $\delta$

[provincialka]

Вот хорошая формула для $\delta$, $\delta=\min(1, \frac{\varepsilon}{5})$

[ewert]

provincialka в сообщении #767695 писал(а):

По-хорошему, существование и свойства корня выясняются через свойства квадрата, которые должны быть доказаны независимо от него, только с помощью арифметических операций.

Строго говоря -- да, но тут строгость не очень уместна. Например, тогда невозможно вообще даже ставить вопрос о пределе $\sqrt n$, а про предельные точки $\sin\frac{\pi n}4$ говорить и вообще неуместно: ну нет пока ещё вообще никакого синуса -- нету, и всё тут!

[provincialka]

По крайней мере, непрерывность квадрата прекрасно доказывается без корня, одной алгеброй.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #767723 писал(а):

непрерывность квадрата прекрасно доказывается без корня, одной алгеброй.

Нет, не алгеброй, а следствием из общей теоремы -- о непрерывности произведения. Это не в пример идейнее.

Но я-то имел в виду другое: если начать буквоедствовать, то резко сужается круг примеров, на которых можно дрессировать и дрессироваться.

[provincialka]

Ну, по-моему это не буквоедство. Тем более, что ответ получается в две строки, гораздо короче, чем с радикалом.
К тому же сама идея линеаризации неравенств - вполне полезна, в преддверии будущей основательной линеаризации с помощью дифференциала.

Впрочем, "неча на зеркало пенять". Я сама выпустила пособие по матану (написанное, впрочем, несколько нестандартно и названное "Очерками"), в котором сначала ищу $\delta$ именно через радикалы. Только сноску даю на дальнейшее, где изложение идет более строго, с алгеброй.

Кстати, насчет непрерывности произведения: некоторые, наоборот, доказывают непрерывность квадрата и линейной комбинации, а уж потом легко переходят к произведению по формуле $xy=\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4}$

А вот что касается учебных задач - тут я с вами полностью согласна. Даже имея кучу общих теорем, совсем не вредно разобрать частные случаи "ручками".

Кстати, мы, кажется, "размахиваем руками" впустую: ТС что-то запропал