Преобразование Фурье, передаточная функция и АФЧХ

[lega4]

Пролистал стопочку статеек, но так и не смог понять, почему так.
Вот, у нас есть некая динамическая линейная система, $y(t), x(t)$ - выход и вход соответственно. Применяя к ней преобразование Лапласа и приводя все, что нужно, получаем $Y(p)=H(p)\cdot X(p), p \in \mathbb C$, где $H(p)$ - коэффициент передачи (передаточная функция, transfer function).
Кроме этого, для системы мы можем определить т.н. АФЧХ (frequency response), которая характеризует изменение входного сигнала в "частотном пространстве", т.е. позволяет узнать, как изменится амплитуда входных гармоник с определенными частотами и их фаза. Обычно, да и во всех статьях и книжках постулируют, что АФЧХ=$H(i\omega)$; ФЧХ=$\operatorname{Arg} H(i\omega)$; АЧХ=$|H(i\omega)|$.
Внимание, вопросы:
1. Частоты $\omega$ вроде как мы полагаем вещественными, тогда возникает очевидный вопрос о эквивалентности замены $p$ на $i\omega$. В первом случае охватывается вся комплексная плоскость, во втором - только мнимая ось.
2. Почему эта замена приводит к тому, что у нас получается? Как на уровне "общей теории всего" объяснить, что вот мы делаем-делаем и получаем интерпретацию фильтра на уровне фильтрации высоких\низких частот, например? Вроде очень похоже, на то, что замена $p:=i\omega$ формально заменяет наше преобразование Лапласа на преобразование Фурье и там все понятно. Но, к первому вопросу, мы же начинаем считать омегу вещественной...
3. http://ru.wikipedia.org/wiki/Сигнал. Там, где про спектр фаз и спектр амплитуд, вроде как говорится, что модуль образа функции при преобразовании Фурье - примерно то же самое, что АЧХ (или я так понял?)... Или это совсем не то и не в тему?
4. Немного отходя от темы, про интерпретацию ряда Фурье и преобразования Фурье. Слышал такую мысль, что ряд Фурье для функции можно интерпретировать как набор точек на комплексной плоскости, где каждому слагаемому ряда Фурье будет соответствовать точка с аргументом (фазой), равным частоте синуса (косинуса) и модулем, равным амплитуде перед соответствующей гармоникой. Для преобразования Фурье соответственно, мы получаем некую кривую (не обязательно непрерывную и вообще, это может быть разбросанный континуум точек, но представлять это как кривую проще для воображения) в комплексной плоскости, параметрически заданную параметром $\omega$. Если это так, то где можно прочитать поподробнее про такую интерпретацию и для чего она может пригодиться? Что-то не нашел, возможно, плохо искал.

[Munin]

На самом деле, нас не интересует вся комплексная плоскость. Нас интересует только положение полюсов на этой комплексной плоскости. Физически полюсы отвечают резонансам: мнимая часть частоте, а действительная - добротности. Поэтому, все эти полюсы "отпечатываются" и на мнимой оси, только присутствуют они там в "зашифрованном" виде. Дальше всё зависит только от нашего удобства: если мы работаем с периодическим сигналом, нам удобно смотреть на мнимую ось, и пользоваться преобразованием Фурье, а если мы работаем с переходными процессами, нам удобно смотреть на полюсы непосредственно, и пользоваться преобразованием Лапласа.

[lega4]

Munin, не понял, честно говоря. Что значит "отпечатываются на мнимой оси"? "Не интересует все остальное" - для каких целей не интересует? Как связан периодический сигнал с мнимой осью?
Я специально постарался структурировать и разделить вопросы, чтобы было и мне более понятно, и читающим.

[Munin]

lega4 в сообщении #767818 писал(а):

Что значит "отпечатываются на мнимой оси"?

Ну вот допустим, мы берём один полюс: функцию вида $\tfrac{a_1}{z-z_1}.$ И вот что мы видим на действительной (или мнимой) оси:
http://www.wolframalpha.com/share/clip? ... tubpne4752

По этому графику (заметим, имеющему и действительную, и мнимую часть) можно восстановить положение полюса однозначно.

Когда мы берём несколько полюсов, мы получаем сумму таких графиков.

В принципе, мы вообще можем поступить как в анекдоте про "вылить воду из чайника": взять от этого графика обратное преобразование Фурье, а потом прямое преобразование Лапласа. И вуаля, мы получим всё, что надо, на комплексной плоскости, по одной только мнимой оси.

lega4 в сообщении #767818 писал(а):

Как связан периодический сигнал с мнимой осью?

Очень просто: если мы подаём на вход синусоиду, то и на выход получаем синусоиду, без вариантов (потому что система линейная). И неизвестны только амплитуда и фаза этой синусоиды, а они даются просто образом в точке $i\omega.$ И во многих технических случаях нас это и интересует: как ведёт себя цепь при подаче синусоиды одной частоты, другой частоты, набора частот. Но есть и другие технические случаи, где нас интересует реакция цепи на переключение входов, скажем, из 0 в 1, - переходной процесс. Тогда нас интересует отклик на функцию Хевисайда, в виде полиномов и экспонент, а для этого нужны полюсы образа Лапласа. Каждый полюс вида $\tfrac{1}{(z+\alpha)^n}$ даёт реакцию $\tfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\alpha t}.$

Я пока отвечаю только на ваш первый вопрос (и частично на второй). Но вопросы ваши не выглядят структурированными. За ними стоит общее непонимание "а почему так", отсутствие цельной картины. Тогда вопросы будут виться в цепочку, но всё равно не закончатся. Лучше дать полную картину, а потом вы уже сами сможете ходить по ней, как по своей комнате, туда-сюда.

Может быть, стоит начать с ещё более общего рассмотрения. Линейная система действует на линейном пространстве функций "входов", применяя к нему некое линейное преобразование (линейный оператор), дающий функции "выходов". Такое преобразование можно записать аналогично умножению на матрицу, как применение некоторого интегрального оператора с обобщённо-функциональным ядром (то есть, могущим включать дельта-функции и их производные). В силу того, что наша система не привязана к какой-то точке по времени, и сдвиг "входа" по времени приводит к такому же сдвигу "выхода", это преобразование можно записать как свёртку с некоторой обобщённой функцией - импульсной характеристикой: $y=h\mathop{*}x.$ Нам этого было бы и достаточно, но операция свёртки неудобная для вычислений: в калькуляторах её нет, она требует интегрирования, причём достаточно тонкого, так что мы переходим к другому базису в нашем линейном пространстве. Этот базис даётся преобразованием Фурье или Лапласа. Этот базис выбран так, чтобы наша операция свёртки в этом базисе оказалась просто операцией умножения. После того, как умножение проделано, можно вернуться в наш исходный базис, в time domain (область оригинала).

[lega4]

Цитата:

По этому графику (заметим, имеющему и действительную, и мнимую часть) можно восстановить положение полюса однозначно.

Мм... Или я под вечер соображаю плохо, или на самом деле абсолютно не очевидно - как? Как можно узнать что-то о полюсе, если знать значения функции для вещественных z? Если функция регулярна, то по значениям на вещественной оси мы ее однозначно восстановим на всей плоскости по теореме единственности, не спорю. Но это в теории, а на практике-то как?

Цитата:

В принципе, мы вообще можем поступить как в анекдоте про "вылить воду из чайника": взять от этого графика обратное преобразование Фурье, а потом прямое преобразование Лапласа. И вуаля, мы получим всё, что надо, на комплексной плоскости, по одной только мнимой оси.

Даже опуская момент, что непонятно, что нам дает этот график - почему мы "получим всё, что надо"? Вроде, по сути, мы как раз "подставим" вместо z $i\cdot u$, и ...?

Цитата:

И неизвестны только амплитуда и фаза этой синусоиды, а они даются просто образом в точке iw

Так в этом и был вопрос же вроде? Почему так?

Цитата:

За ними стоит общее непонимание "а почему так", отсутствие цельной картины.

Да, я же и не отрицаю. Вот и хочу понять общую картину, "почему так".

Цитата:

Может быть, стоит начать с ещё более общего рассмотрения. Линейная система действует на линейном пространстве функций "входов", применяя к нему некое линейное преобразование (линейный оператор), дающий функции "выходов". Такое преобразование можно записать аналогично умножению на матрицу, как применение некоторого интегрального оператора с обобщённо-функциональным ядром (то есть, могущим включать дельта-функции и их производные). В силу того, что наша система не привязана к какой-то точке по времени, и сдвиг "входа" по времени приводит к такому же сдвигу "выхода", это преобразование можно записать как свёртку с некоторой обобщённой функцией - импульсной характеристикой: Нам этого было бы и достаточно, но операция свёртки неудобная для вычислений: в калькуляторах её нет, она требует интегрирования, причём достаточно тонкого, так что мы переходим к другому базису в нашем линейном пространстве. Этот базис даётся преобразованием Фурье или Лапласа. Этот базис выбран так, чтобы наша операция свёртки в этом базисе оказалась просто операцией умножения. После того, как умножение проделано, можно вернуться в наш исходный базис, в time domain (область оригинала).

Ну это-то вроде понятно (за исключением момента про "свертку с импульсной характеристикой", но я думаю, суть от этого не меняется - понятно, что мы хотим свести задачу к более простой).

[Munin]

lega4 в сообщении #768074 писал(а):

Мм... Или я под вечер соображаю плохо, или на самом деле абсолютно не очевидно - как?

На это я заранее ответил:

Munin в сообщении #767917 писал(а):

взять от этого графика обратное преобразование Фурье, а потом прямое преобразование Лапласа.

Выглядит "непрозрачно", но результат даёт, очевидно.

lega4 в сообщении #768074 писал(а):

Так в этом и был вопрос же вроде? Почему так?

То есть, почему, если на вход подавать синусоиду, то выход будет определяться $H(i\omega)$? Элементарно, Ватсон: Фурье-образ от синусоиды будет дельта-функцией. Мы имеем $X(i\omega)=X_0\delta(\omega-\omega_0),$ и $Y(i\omega)=Y_0\delta(\omega-\omega_0),$ $Y_0=H(i\omega_0)X_0.$ То есть, проводя обратное преобразование Фурье, снова получаем синусоиду, а её амплитуда и фаза отличаются от исходной согласно множителю $H(i\omega_0).$ Убедил?

lega4 в сообщении #768074 писал(а):

Ну это-то вроде понятно (за исключением момента про "свертку с импульсной характеристикой", но я думаю, суть от этого не меняется - понятно, что мы хотим свести задачу к более простой).

Не, тут интересны именно детали: что такое свёртка, и почему мы так или иначе упираемся в преобразование Фурье или Лапласа - потому что базис, в котором оператор диагонален, по сути один и тот же.

[lega4]

Цитата:

взять от этого графика обратное преобразование Фурье, а потом прямое преобразование Лапласа.
Выглядит "непрозрачно", но результат даёт, очевидно.

Не очевидно.
Ну т.е. подставить iw? И даже если в терминах преобразований - ну, предположим, применим (еще и предположив возможность его применения, там же есть некие условия, ну да пусть) обратное преобразование (получив непонятно что), затем Лапласа.. Мм... Вопрос неизменен - почему мы получим что-то хорошее? В конкретном случае - почему это нам что-то скажет о полюсах?

Munin в сообщении #768143 писал(а):

Элементарно, Ватсон: Фурье-образ от синусоиды будет дельта-функцией. Мы имеем $X(i\omega)=X_0\delta(\omega-\omega_0),$ и $Y(i\omega)=Y_0\delta(\omega-\omega_0),$ $Y_0=H(i\omega_0)X_0.$ То есть, проводя обратное преобразование Фурье, снова получаем синусоиду, а её амплитуда и фаза отличаются от исходной согласно множителю $H(i\omega_0).$ Убедил?

Стойте-стойте. Была исходная система с неким оператором L, вообще, неизвестно, каким, дифференциальным, интегральным, еще каким, не важно. Просто оператор.
$y(t) = Lx(t)$
Мы к ней применили преобразование Фурье, верно? Получили
$Y(\omega) = H(\omega)\cdot X(\omega)$
Так? Применение оператора перешло в произведение. Преобразование Фурье дает нам функцию от омеги. Вещественной омеги, если что.
Теперь подаем на вход, видимо, $e^{i\omega_0t}$. Судя по всему, никакой содержательной нагрузке на уровне входных сигналов это не несет, ибо что это за комплексный сигнал, но для системы вполне можем подать на вход что угодно.
Проделав выкладки и правда, получим
$Y_{output}(\omega) = H(\omega)\cdot \delta(\omega-\omega_0)$ - в образах.
$y_{output}(t)=H(\omega_0)\cdot e^{i\omega_0t} = H(\omega_0) \cdot x(t)$ - в оригиналах.
Ну, что-то похожее получилось. Но откуда там буковка $i$ возникла, непонятно.

[Munin]

lega4 в сообщении #768425 писал(а):

Теперь подаем на вход, видимо, $e^{i\omega_0t}$. Судя по всему, никакой содержательной нагрузке на уровне входных сигналов это не несет, ибо что это за комплексный сигнал, но для системы вполне можем подать на вход что угодно.

Так. А теперь подайте на вход, изобретательно, $e^{i\omega_0t}+e^{-i\omega_0t}$ (нетрудно заметить, что это Слонёнок...). Фурье-образ от неё будет... Заметим, что фурье-образ от нашего оператора... поскольку сам оператор... Таким образом, в образах получим... и в оригиналах... (пропуски заполнить самостоятельно :-))

lega4 в сообщении #768425 писал(а):

И даже если в терминах преобразований - ну, предположим, применим (еще и предположив возможность его применения, там же есть некие условия, ну да пусть) обратное преобразование (получив непонятно что)

Стоп, почему непонятно что? Если применить прямое Фурье, а потом обратное Фурье, вот исходный оригинал и получим. Это как комната, по которой можно ходить туда и обратно. Два базиса, между которыми можно переходить известным преобразованием, и обратным от него.

[lega4]

Munin
В оригиналах получится, видимо, вот это

$$y_{output}(t)=H(\omega_0)\cdot e^{i\omega_0t} + H(-\omega_0)\cdot e^{-i\omega_0t} $$

И? Если бы H была четной, получили бы почти синус, но здесь же не так... Почему фурье-образ оператора будет четным?
В любом случае, там же нет буковки $i$ в аргументе

Цитата:

Стоп, почему непонятно что? Если применить прямое Фурье, а потом обратное Фурье, вот исходный оригинал и получим. Это как комната, по которой можно ходить туда и обратно. Два базиса, между которыми можно переходить известным преобразованием, и обратным от него.

Ну применили мы зачем-то обратное, затем прямое. Или наоборот. Или обратное Фурье, а потом прямое Лапласа. Так вопрос - как из этого мы получим информацию о полюсах?

[Munin]

lega4 в сообщении #768486 писал(а):

Если бы H была четной, получили бы почти синус, но здесь же не так... Почему фурье-образ оператора будет четным?

Подсказка: потому что сам оператор действительный. Ведь он переводит действительный входной сигнал в действительный выходной.

lega4 в сообщении #768486 писал(а):

Ну применили мы зачем-то обратное, затем прямое. Или наоборот. Или обратное Фурье, а потом прямое Лапласа. Так вопрос - как из этого мы получим информацию о полюсах?

А в результате прямого Лапласа информация о полюсах в явном виде содержится. Это корни многочленов знаменателей.

[lega4]

Цитата:

А в результате прямого Лапласа информация о полюсах в явном виде содержится. Это корни многочленов знаменателей.

мм... Я что-то не так понял, или утверждение такое?
"Имеется функция f(z). Строим график ее вещественной и мнимой части для вещественных z. Если рассмотреть эти графики как функции действительного переменного и применить к ним преобразование Лапласа, то мы получим информацию о полюсах функции f(z)."
Или объясните, пожалуйста, еще раз, какие полюса "отпечатываются" на мнимой оси и как это происходит.

[Munin]

"Имеется функция f(z). Строим график ее вещественной и мнимой части для вещественных z. Если рассмотреть эти графики как функции действительного переменного и применить к ним сначала обратное преобразование Фурье, а потом прямое преобразование Лапласа, то мы получим информацию о полюсах функции f(z)."
Ну да, как-то так. Ведь получится в итоге вся эта $f(z),$ а не только на одной оси вещественных $z.$

[lega4]

Munin эээмммм... Можете пояснить? Я вот решил провести эксперимент, что называется
$f(z)=\frac{1}{z-i}=\frac{z}{z^2+1}+i\frac{1}{z^2+1}$
Обратное Фурье от вещественной части, если верить Вольфраму:
$i \sqrt{\frac{\pi}{2}}(e^{t} \theta(-t)-e^{-t}\theta(t))$, где $\theta(t)$ есть единичная функция.
Аналогично от мнимой части:
$\sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{-|t|}$
Тем же Вольфрамом берем прямое лапласа:
Вещественная:
$-i \sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{p+1}$
Мнимая:
$\sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{p+1}$
Вообще, интересно, что если мнимую умножить на i и прибавить к вещественной, то будет ноль. Лично мне непонятно, почему так получилось. Но не суть. Суть в том, что из вполне себе хорошей дроби $\frac{1}{p+1}$ вообще никак, ну просто никак не следует, что полюс у исходной функции был в точке i. Ну или надо сделать что-то еще (заменить p на iw и тогда относительно омега получится, например). Но почему так? Я так и не понял..

[Munin]

Вы должны взять обратное Фурье от действительной и мнимой части вместе. Впрочем, кажется, их можно просто сложить.

lega4 в сообщении #769763 писал(а):

Суть в том, что из вполне себе хорошей дроби $\frac{1}{p+1}$ вообще никак, ну просто никак не следует, что полюс у исходной функции был в точке i.

Ну конечно, вы по ходу вместо функции на мнимой оси $i\omega$ взяли функцию как будто на вещественной оси, и вся комплексная плоскость повернулась. Но если её повернуть обратно, то $-1$ как раз попадает на $i.$

lega4 в сообщении #769763 писал(а):

Но почему так? Я так и не понял..

Вы же сами про это сказали в самом начале: преобразование Фурье - это по сути то же самое преобразование Лапласа, формулы те же.

[lega4]

Munin в сообщении #769834 писал(а):

Вы должны взять обратное Фурье от действительной и мнимой части вместе. Впрочем, кажется, их можно просто сложить.

Это как? Фурье-образ - это функция вещественного переменного, что значит "вместе"?

Munin в сообщении #769834 писал(а):

Ну конечно, вы по ходу вместо функции на мнимой оси $i\omega$ взяли функцию как будто на вещественной оси, и вся комплексная плоскость повернулась. Но если её повернуть обратно, то $-1$ как раз попадает на

Что, простите? Конечно я взял функцию на вещественной оси, вы же сам сказали так делать. Что значит "повернуть обратно"? Я же никуда ее не поворачивал.

В тему призываются еще люди, знакомые с теорией управления.