Помогите доказать!
«Вычеты по модулю

»
Рассмотрим множество вычетов {

},
(далее множество вычетов

),
где m пробегает наименьшие натуральные вычеты

по модулю P.
Утверждение 1.
Пусть простое число

, тогда в множестве вычетов
{

}, (далее множество вычетов

),
где m пробегает наименьшие натуральные вычеты

по модулю P,
имеются только два вычета:

и .

, таких, что

.
Утверждение 2.
Пусть простое число

, тогда в множестве вычетов
{

}, (далее множество вычетов

),
где m пробегает наименьшие натуральные вычеты

по модулю P,
нет ни одной пары вычетов, удовлетворяющих условию (1).
Доказательство Утверждения 1
Покажем, что сравнение (1) справедливо.
Пусть g- наименьший первообразный корень по модулю
и функция Эйлера

.
Обозначим вычеты, индексы которых кратны




,

,

Очевидно, вычеты

и

принадлежат показателю 6 по модулю

и вычетов, принадлежащих показателю 6 по указанному модулю, только 2(два), так как

, а потому

, отсюда

, а значит

, тогда

или

Обратим внимание на симметричность индексов вычетов

и

относительно индекса вычета

равного

, так


Пусть существуют в множестве вычетов {R} вычеты

и

, удовлетворяющие условию (1), т.е.

и пусть

,

, тогда

.
Умножим последнее сравнение на

и, учитывая что
имеем

, тогда

, отсюда

, отсюда

или

, тогда
или

.
Пришли к противоречию: вычет

равен вычету

или вычету

, что
указывает на Справедливость Утверждения 1.
Я проверил частные множества вычетов {R} по модулям

,

,

и

Утверждение 1 везде подтверждалось.
Доказательство Утверждения 2
Функция Эйлера

не делиться на 3 и 6, а потому не существует вычетов в множестве вычетов {R} принадлежащих числам 3 и 6, а значит нет вычетов удовлетворяющих условию (1).
Я проверил частные множества вычетов {R} по модулям

,

и
Утверждение 2 везде подтверждалось.
Однако я не уверен, что предложенные мною доказательства Утверждений 1 и 2 являются достаточными, а потому прошу помощи.