Погрешность численных методов

[Tookser]

Было задание: найти площадь, ограниченную тремя графиками некоторых функций с заданной точностью. Для начала нужно было найти точки пересечения (в моем варианте - методом хорд), потом - найти численно, сложить и вычесть интегралы для
получения требуемого числа (погрешности интегралов по правилу Рунге).
Написано две функции: одна интегрирует (срединными прямоугольниками), другая ищет корень (метод хорд), обе позволяют задать погрешности определения ($\varepsilon_1 \text{ и } \varepsilon_2$ соответственно).
Вид фигуры - криволинейный треугольник.

Все работает, но дополнительным заданием было разобраться с погрешностями.

Сначала считал так: погрешность площади есть погрешность метода вычисления интеграла, сложенная с погрешностями определения точек пересечения, умноженных на значения функции в точке.

Внезапно понял, что ошибался и что в таком случае эти погрешности должны уравновешиваться, а значит я считал ерунду. Значит, погрешности нужно считать из первых производных у данной точки (вернее, их разности). Все хорошо, но тогда получится, что допустимы бОльшие значения $\varepsilon_1 \text{ и } \varepsilon_2$, а моя программа даже при маленьких значениях данных переменных считает менее точно (проверял увеличением точности). Посоветуйте, что может помочь, возможно, поможет какая-то не слишком сложная литература (времени не избыток).

[ewert]

Tookser в сообщении #766658 писал(а):

Внезапно понял, что ошибался и что в таком случае эти погрешности должны уравновешиваться,

Ничего не понял, но что очевидно -- что погрешности уравновеситься никак не могут, ибо при любом подходе должны браться по модулю (или принудительно, или автоматом -- зависит от вкуса). Вот этого Вы наверняка и не учли; остальное -- лень.

[Tookser]

ewert в сообщении #766772 писал(а):

Ничего не понял, но что очевидно -- что погрешности уравновеситься никак не могут, ибо при любом подходе должны браться по модулю (или принудительно, или автоматом -- зависит от вкуса).

Я имел в виду, что если мы считаем, к примеру, площадь треугольника с известными координатами вершин,

используя суммы и разности интегралов, то при наличии ошибки в координате $x_0$ значение $y_0$ не изменится значительно (для его получения мы подставим $x_0$ в уравнение одной из прямых, проходящих через данную точку).

Таким образом, если мы будем считать три интеграла (подинтегральные функции - линейные зависимости), причем один из них будет вычитаться из суммы двух других, то ошибка в координате $x_0$ (если мы будем считать $y_0$ неизменным) будет полностью компенсироваться (без учета бесконечно малых второго порядка).

Следовательно, эта ошибка не может зависеть от значения $y_0$. Если мы учтем погрешность более высокого порядка, то она будет зависеть от значений производных функций в данной точке.