Сумма вектора и скаляра

[torn]

Встретил такую конструкцию:

$$\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial t}+\left(\overrightarrow{V} \nabla\right)\overrightarrow{V}=-\frac{1}{\rho}\nabla\overrightarrow{P}$$

В $\mathbb E^3$ с декартовой системой координат будет выглядеть так:

$$\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial t}+V_x\frac{\partial V_x}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_y}{\partial y}+V_z\frac{\partial V_z}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial P}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial P}{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial P}{\partial z}\overrightarrow{k}\right)$$

Первое слагаемое в левой части - вектор, три следующих - скаляры, но, насколько я знаю, операция сложения вектора со скаляром в математике не определена. Подозреваю что я как-то неправильно раскрыл выражение $\left(\overrightarrow{V} \nabla\right)\overrightarrow{V}$. Прошу указать на ошибку.

[provincialka]

Там ведь скобка во втором слагаемом. Может, оператор, обозначенный этой скобкой, применяется к каждой компоненте вектора $V$?

[Someone]

$$\frac{\partial\vec V}{\partial t}+V_x\frac{\partial\vec V}{\partial x}+V_y\frac{\partial\vec V}{\partial y}+V_z\frac{\partial\vec V}{\partial z}=-\frac 1{\rho}\left(\frac{\partial P}{\partial x}\vec{\imath}+\frac{\partial P}{\partial y}\vec{\jmath}+\frac{\partial P}{\partial z}\vec k\right)$$

[provincialka]

Someone в сообщении #766757 писал(а):

$$\frac{\partial\vec V}{\partial t}+V_x\frac{\partial\vec V}{\partial x}+V_y\frac{\partial\vec V}{\partial y}+V_z\frac{\partial\vec V}{\partial z}=-\frac 1{\rho}\left(\frac{\partial P}{\partial x}\vec{\imath}+\frac{\partial P}{\partial y}\vec{\jmath}+\frac{\partial P}{\partial z}\vec k\right)$$

Вот-вот, это я и имела в виду. Просто с телефона трудно формулы вставлять...

[ewert]

(Оффтоп)

а я вот гидродинамику давно и прочно забыл, потому долго и не мог сообразить, что давление -- ну никак не может быть вектором, и вообще что к чему...

[provincialka]

ewert в сообщении #766764 писал(а):

(Оффтоп)

а я вот гидродинамику давно и прочно забыл, потому долго и не мог сообразить, что давление -- ну никак не может быть вектором, и вообще что к чему...

(Оффтоп)

Почему не может? Куда-то же оно направлено?

[Munin]

torn в сообщении #766749 писал(а):

Подозреваю что я как-то неправильно раскрыл выражение $\left(\overrightarrow{V} \nabla\right)\overrightarrow{V}$.

В скобках вектор на вектор. Получается скаляр. Потом умножается на вектор - получается вектор.

Скалярный оператор $(\vec{V}\nabla)=V_x\tfrac{\partial}{\partial x}+V_y\tfrac{\partial}{\partial y}+V_x\tfrac{\partial}{\partial x}$ также обозначается $(\vec{V}\operatorname{grad}).$ Он имеет смысл производной по направлению (от скаляра или от вектора) в случае, если $\vec{V}$ - единичный вектор направления. Если же длина $\vec{V}$ другая, то он имеет значение $(\vec{V}\nabla)=\mathopen{|}\vec{V}\mathclose{|}\,\tfrac{\partial}{\partial \vec{V}}.$ При этом $\vec{V}$ может быть как постоянной величиной, так и функцией - без разницы.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #766767 писал(а):

Куда-то же оно направлено?

всюда; это ж гидродинамика, а не

[Munin]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #766767 писал(а):

Почему не может? Куда-то же оно направлено?

Давление есть тензор 2 ранга: его произведение на площадку (её можно задать ковектором) даёт вектор силы (ну, или ковектор силы, смотря как нам нравится). В жидкости и газе этот тензор шаровой, и может быть заменён скаляром. Сила всегда нормальна площадке, и от ориентации площадки не зависит.

[Neos]

Munin,
а про скалярный оператор $ \vec{V}\operatorname{grad} $, который не $\operatorname{div}\vec{V} $ где можно посмотреть ?

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #766780 писал(а):

В жидкости и газе этот тензор шаровой, и может быть заменён скаляром.

Об том и речь. С одной оговоркой лишь: не может, а обязан.

-- Пн сен 23, 2013 00:27:06 --

Neos в сообщении #766782 писал(а):

а про скалярный оператор $ \vec{V}\operatorname{grad} $, который не $\operatorname{div}\vec{V} $ где можно посмотреть ?

А нигде, достаточно просто подумать. Начнём с того, что первый вариант есть воистину дифоператор, второй же -- отнюдь (исключая тривиальщину). Далее, небесполезно тупо присмотреться, что (в принципе!) могло бы означать значкосочетание в первом случае, и что -- во втором.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #766780 писал(а):

Давление есть тензор 2 ранга: его произведение на площадку (её можно задать ковектором) даёт вектор силы

это на самом деле определение не давления, а тензора напряжений. Давление это скаляр.

Munin в сообщении #766780 писал(а):

В жидкости и газе этот тензор шаровой, и может быть заменён скаляром.

Тензор напряжений шаровой только в идеальной жидкости (по определению идеальной жидкости) и выглядит он в ней так: $p_{ij}=-pg_{ij}$, где $p$ давление. Для вязкой жидкости тензор напряжений шаровым уже не является. Однако в стартовом посте речь идет именно об идеальной жидкости.

[arseniiv]

Neos в сообщении #766782 писал(а):

скалярный оператор $ \vec{V}\operatorname{grad} $, который не $\operatorname{div}\vec{V} $

Второе вообще не оператор — ведь это результат применения оператора $\operatorname{div}$ к $\vec V$.

Дифференциальный оператор $aB$, где $B$ — дифференциальный оператор, а $a$ — какая-то штуковина, определяют как оператор, полученный формальным умножением $a$ на $B$. Например, $2\frac d{dt}$ — это дифференцирование по $t$, результат которого умножается на 2, $\vec A\cdot\frac d{dt}$ — это дифференцирование, результат которого скалярно умножается на $\vec A$. Пока всё просто, потому что $\frac d{dt}$ «имеет одну координату». А вот $\vec A\cdot\nabla$ — это $(A_x, A_y, A_z)\cdot\left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$. Формально умножаем и получаем $A_x\frac{\partial}{\partial x} + A_y\frac{\partial}{\partial y} + A_z\frac{\partial}{\partial z}$, и лишь потом действуем на всякие векторы.

UPD: Было неправильно скалярно умножено. Теперь правильно.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #766783 писал(а):

С одной оговоркой лишь: не может, а обязан.

Вечно вы требуете от окружающих большего, чем они вам по факту должны...

Oleg Zubelevich в сообщении #766786 писал(а):

Тензор напряжений шаровой только в идеальной жидкости... Для вязкой жидкости тензор напряжений шаровым уже не является.

Ценное замечание. Однако, и в вязкой жидкости он может быть шаровым... когда жидкость неподвижна :-) Подозреваю, возможны целые классы течений вязкой жидкости, в которых он остаётся шаровым. Такая задача может быть интересна Oleg Zubelevich.

[arseniiv]

(Neos, вы, кстати, в курсе некоммутативности «умножения» на $\nabla$?)