Предел последовательности

[Tosha]

Как доказать, что последовательности имеют предел

1) $a_n=\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+...+\dfrac{1}{n!}$

2) $b_n=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}$

Эти последовательности монотонно возрастают. Если доказать, что они ограниченны, то из этого будет следовать, что они имеют предел. Ограниченность снизу очевидна (нулем или единицей, например). А вот как доказать ограниченность сверху? Или лучше пойти другим путем.

[Ms-dos4]

Tosha
Используйте какой либо критерий сходимости, к первому например признак Даламбера, ко второму можно применить критерий Коши(интегральный).

[gris]

Можно заменить каждый член суммы на что-то большее, так что вся сумма легко сворачивается.
Ну и через ряды можно, если проходили (собственно это как бы те же замены).

[Tosha]

gris в сообщении #766579 писал(а):

Можно заменить каждый член суммы на что-то большее, так что вся сумма легко сворачивается.
Ну и через ряды можно, если проходили (собственно это как бы те же замены).

Не проходили. А что-то большее -- что, например?

Для больших $n$ выходит $\dfrac{1}{n^2}>\dfrac{1}{n!}$, потому $a_n<b_n$

А как можно ограничить вторую последовательность?

[provincialka]

$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}$

[Tosha]

provincialka в сообщении #766589 писал(а):

$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}$

А как это может помочь?

$c_n=\frac{1}{1(2-1)}+...+\frac{1}{n(n-1)}$

Мне вот не очевидно -- чем ограничена сверху такая последовательность)

[SpBTimes]

$\frac{1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

[Tosha]

SpBTimes в сообщении #766646 писал(а):

$\frac{1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

Спасибо.

$$c_n=\frac{1}{2(2 - 1)}+\frac{1}{3(3 - 1)}+...+\frac{1}{n(n - 1)} = \frac{1}{2 - 1} - \frac{1}{2}+\frac{1}{3 - 1} - \frac{1}{3}+\frac{1}{4 - 1} - \frac{1}{4}+...+\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}=1-\frac{1}{n-1}<1$$

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{1}{2(2 - 1)}+\frac{1}{3(3 - 1)}+...+\frac{1}{n(n - 1)}<2$

Верно?

$\frac{1}{n!}<\frac{1}{n^2}$ для $n>3$ (*)

(док-во)

Индукция.
1) База $n=4$

$\frac{1}{4!}<\frac{1}{4^2}$

2) Переход.

$\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!(n+1)}<\frac{1}{n^2(n+1)}<\frac{1}{n^2(n+1)}<\frac{1}{n^2+2n+1}$

Осталось доказать, что $n^2(n+1)>n^2+2n+1$ для $n>3$

$n^3+n^2>n^2+2n+1$

$n^3>2n+1$ (+)

Докажем (+) индукцией. База выполнен. Переход:

$(n+1)^3>2n+3$

$n^3+3n+9n^2+1>2n+1+2$

$3n+9n^2+1>2$

$3n+9n^2>1$ -- это должно быть очевидно?)

$\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}...+\frac{1}{n!}<\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}<2+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}\leqslant 10$

Верно?

[provincialka]

Ну, одного неравенства мало. Какую теорему используете?

[ewert]

Tosha в сообщении #766685 писал(а):

$\frac{1}{n!}<\frac{1}{n^2}$ для $n>3$ (*)

Слишком сложно и неестественно. Проще оценить через геометрическую прогрессию.

[Tosha]

provincialka в сообщении #766689 писал(а):

Ну, одного неравенства мало. Какую теорему используете?

Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел. (Вейерштрасс)
Ясно, спасибо)