Последовательности

[arqady]

Дана последовательность $\{a_n\}:a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}$, $a_1=\frac{1}{2}$. Докажите, что:

$$|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+...+|a_n-a_{n+1}|<\frac{5}{18}$$

[Dave]

Красиво что-то не получается. Оценка скорости сходимости к золотому сечению.
Если $q$ - положительный корень уравнения $q^2+q-1=0$, то можно положить $a_n=q+\frac 1 {x_n}$. Тогда последовательность $x_n$ удовлетворяет рекуррентному соотношению

$$x_{n+1}=-((2+q)x_n+(1+q))$$

и её можно выписать явно, а потом оценить по модулю снизу.

[arqady]

Вы же обнаружили связь с числами Фибоначчи.
А у них есть много разных свойств...

[Dave]

А!
$a_n=\frac {F_{n+1}} {F_{n+2}}$ и $|a_n-a_{n+1}|=\frac 1 {F_{n+2} F{n+3}}$.
Дальше пока не хочу.

[ewert]

Не хочу фибоначчей.

$a_{n+2}=1-\dfrac1{2+a_n};\quad (a_{n+2}-a_{n+1})=\dfrac{(a_n-a_{n-1})}{(2+a_n)(2+a_{n-1})};$

$|a_{n+2}-a_{n+1}|<\dfrac4{25}|a_n-a_{n-1}|;\quad S<\left(\dfrac16+\dfrac1{15}\right)\cdot\dfrac{25}{21}.$

[ewert]

(Оффтоп)

Я всё-таки дополню. Естественно, $\frac4{25}$ можно запросто усилить до $\frac4{26}$ (и даже немножко далее, но только очень немножко, и в любом случае это выйдет некое занудство). Я просто не понимаю, нахрена именно рациональная оценка и при чём тут олимпиадность.

[arqady]

ewert в сообщении #765904 писал(а):

Я просто не понимаю, нахрена именно рациональная оценка и при чём тут олимпиадность.

Можно устроить цепную реакцию по сложению. Dave почти всё уже сделал.