Поле разложения

[sopor]

Задача: найти кол-во элементов в поле разложения многочлена $x^5+x^4+1$ над полем из 4 элементов.
Моя попытка рассуждения: заметим, что $x^5+x^4+1=(x^2+x+1)(x^3+x+1)$. Так как $x^2+x+1$ приводим над полем из 4 элементов, нам достаточно добавить к полю корни 2-ого многочлена. Сначала добавим вещественный, а потом комплексный корень, значит число элементов станет $4^{3\cdot2}=4096$. Верны ли эти рассуждения?

[jhanjaa]

Простите, а что такое вещественные и комплексные корни в конечном поле?

[VAL]

sopor в сообщении #764439 писал(а):

Задача: найти кол-во элементов в поле разложения многочлена $x^5+x^4+1$ над полем из 4 элементов.
Моя попытка рассуждения: заметим, что $x^5+x^4+1=(x^2+x+1)(x^3+x+1)$. Так как $x^2+x+1$ приводим над полем из 4 элементов, нам достаточно добавить к полю корни 2-ого многочлена. Сначала добавим вещественный, а потом комплексный корень, значит число элементов станет $4^{3\cdot2}=4096$. Верны ли эти рассуждения?

Поначалу да.
А потом... Про "вещественные" и "комплексные" корни Вам уже написали.
Но главное - простое алгебраическое расширение конечного поля всегда приводит к полю разложения того многочлена, с помощью которого оно получено.
Иными словами, присоединяя один корень неприводимого полинома, вы в качестве бонуса получаете и все остальные. (В Вашем случае они будут циклически получатся друг из друга возведением в 4-ю степень.)