2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача на составление диффура
Сообщение17.09.2013, 23:33 
Сосуд объёмом 20 литров содержит воздух (80% азота и 20% кислорода). За секунду в сосуд втекает 0,1 литр азота, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество смеси. Через сколько времени в сосуде будет 99% азота?

Судя по ответу и пройденным темам, уравнение: $\dot{N}=0.1(1-0.05N)$ верное.
Но ведь концентрация азота должна меняться еще и потому, что в составе смеси вытекает и кислород? Поэтому хочется как-то так:
$$
\left\{\begin{matrix}
\dot{N}=0.1(1-\frac{N}{N+O})\\ 
\dot{O}=-0.1\frac{O}{N+O}
\end{matrix}\right.
$$
Но ведь газ занимает весь представленный ему объём, тогда знаменатель всегда просто 20 и смысл теряется. Помогите разобраться. Спасибо.

 
 
 
 Re: Задача на составление диффура
Сообщение18.09.2013, 00:16 
Аватара пользователя
Почему смысл теряется? Для $N$ получаем ровно такое же уравнение, какое у вас выписано чуть выше. И что вас беспокоит?

 
 
 
 Re: Задача на составление диффура
Сообщение18.09.2013, 14:08 
provincialka
Что если бы вы вытекала из сосуда не смесь, а каким-нибудь образом только азот отлавливался, то ничего бы не изменилось.

Выходит:
$\frac{1}{|20-N|}=e^{\frac{1}{200}t+C}$
$\frac{1}{|20-N|}=C_{1} e^{\frac{1}{200}t}$
$.$
$C_{1}e^{\frac{-1}{200}t}=|20-N|, 0\leq C_{1}$
Два вопрос: почему в ответах задачника не указывают, что произвольная константа должна быть положительной?
Как правильно раскрывать модуль? Хочется $N=20-C_{1}e^{\frac{-1}{200}t}$, но решением диффура будет же и другая ветка?

 
 
 
 Re: Задача на составление диффура
Сообщение18.09.2013, 14:55 
Аватара пользователя
$C_1$ находится как конкретное число из начальных условий, тем самым избавляя Вас от необходимости размышлять над его положительностью и раскрытием модуля.

 
 
 
 Re: Задача на составление диффура
Сообщение18.09.2013, 15:11 
ИСН
А если рассматривать уравнение отдельно от задачи?

 
 
 
 Re: Задача на составление диффура
Сообщение18.09.2013, 15:21 
Аватара пользователя
А тогда, как Вы верно отметили, решением будет и другая ветка.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group