Задача по теорверу.

[MAnt]

Вероятность падения монеты на ребро $\frac{1}{3}$. Какова толщина монеты?

Моё решение:

Пусть монета цилиндрическая. Рассмотрим момент касания. На рисунке $\varphi$ - угол, под которым ребро видно из центра масс. Допустим, что монета встаёт на ребро, когда вектор силы тяжести лежит в пределах $\varphi$ и монета во время падения вращается равномерно. Тогда отношение вероятностей будет равно отношению углов $\varphi$ и $\pi - \varphi$. В итоге:
$\frac{\varphi}{\pi - \varphi} = \frac{1}{2}$
$\varphi = \frac{\pi}{3}$
И толщина получается $\frac{\sqrt{3} R}{2}$

Но ответ в книге не такой. Что может быть неверно?

[bocovp]

Вы толщину неправильно нашли

$$ \tg \frac{\varphi}{2} = \frac{h/2}R \;\;\to \;\;\;h= 2R\tg\frac{\varphi}2 = \frac{2}{\sqrt3}R $$

[MAnt]

bocovp в сообщении #764477 писал(а):

Вы толщину неправильно нашли

$$ \tg \frac{\varphi}{2} = \frac{h/2}R \;\;\to \;\;\;h= 2R\tg\frac{\varphi}2 = \frac{2}{\sqrt3}R $$

Ответ всё равно другой, там $\sqrt{2}$ участвует

[мат-ламер]

А что, высота с которой падает монета, на результат не влияет?

[MAnt]

мат-ламер в сообщении #764490 писал(а):

А что, высота с которой падает монета, на результат не влияет?

Я думаю этим эффектом надо пренебрегать. Всё-таки монета не слишком свысока падает, да и были допущены более фатальные вещи.

[_hum_]

Совсем неочевидные у вас рассуждения. Надо бы все-таки рассмотреть трехмерный случай, и там определиться, что значит "равновозможные положения", и какие из них относятся к тем, что приводят к постановке на ребро.

[MAnt]

_hum_ в сообщении #764517 писал(а):

Совсем неочевидные у вас рассуждения. Надо бы все-таки рассмотреть трехмерный случай, и там определиться, что значит "равновозможные положения", и какие из них относятся к тем, что приводят к постановке на ребро.

Трёхмерный случай сложен, надо наверное рассматривать проекцию цилиндрически-симметричной монеты. Насчёт равновозможных положений - пусть это будет угол между силой тяжести и осью симметрии цилиндра. Наверное, придется делать монету "липкой", тогда постановка будет определяться моментом силы тяжести.

Кстати, с этой задачей связан интересный исторический анекдот:
http://panoramov.livejournal.com/153268.html
там же описано решение, но оно какое-то странное.

[_hum_]

Что значит, сложен. Он единственный естественный, так как бросание монеты происходит в трехмерном пространстве.
И ничего принципиально сложного нет. Ориентацию монетки в пространстве (в момент "окончательного" касания поверхности перед падением на нее) можно однозначно задать вектором (проведенным из центра масс монетки в некоторую заранее выбранную точку на окружности). Значит, можно теперь рассматривать только ориентацию этого вектора. Если считать, что все положения монетки равновозможны, то что это означает для вектора ориентации? А при каких направлениях вектора монетка будет становиться на ребро?

[Lahme]

Вспоминается термодинамика. Распределение энергии молекул газа по степеням свободы. Поступательным и вращательным.
Здесь, наверное что-то как-то надо распределить по трем вращательным степеням свободы.

[_hum_]

Правильно вспоминается. Только не распределение по степеням свободы, а распределение скоростей молекул по направлениям (при выводе уравнения состояния идеального газа).

[MAnt]

Я запутался . Объясните пожалуйста, какое распределение искать?

[bocovp]

Вон тут эту задачу обсуждают
http://e-science.ru/forum/lofiversion/i ... 24117.html

[мат-ламер]

Тут ещё проблема - каким образом мы раскручиваем монету перед броском. С одной стороны, мы можем закрутить монету вдоль её диаметра, причём диаметр этот будет параллелен столу. Это очень естественный способ броска. С другой стороны мы можем направление этого диаметра выбрать случайным. В обоих случаях получаются разные пространства событий и разные ответы.

[_hum_]

мат-ламер в сообщении #764786 писал(а):

Тут ещё проблема - каким образом мы раскручиваем монету перед броском. С одной стороны, мы можем закрутить монету вдоль её диаметра, причём диаметр этот будет параллелен столу. Это очень естественный способ броска. С другой стороны мы можем направление этого диаметра выбрать случайным. В обоих случаях получаются разные пространства событий и разные ответы.

Да все это неважно. В полете и при ударе (подскаках) монета испытывает уйму случайных воздействий, которые нивелируют практически все начальные условия (конечно, если под броском понимать обычный бросок,а не его крайние случаи, когда высота сравнима с размером монеты.).

[MAnt]

В обсуждении на e-science я не понял, почему все направления ориентации монеты в момент падения равновероятны. Как заметил мат-ламер, монету можно бросать по-разному, и в момент падения она так же ведёт себя по-разному.