Делимость полиномов.

[julyk]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачу. Условие: найти такие $m,n,p$, при которых $x^{3m}-x^{3n+1}+x^{3p+2}$ делится на $x^2 - x +1$.

Семестр только начался, дисциплина называется "Теоретико числовые методы в криптографии". Начали с раздела "Теория чисел". На лекциях было определение кольца, свойства делимости, НОК,НОД...Из книг была рекомендована только "Теоретико числовые методы в криптографии" Маховенко. Возможно вы такой не знаете. Там ничего нет об этом. Уже 2 часа ищу что-то подобное в интернете, нашла эту задачу в сборнике Кострикина, 27.6. Но ни алгоритма решения, ни понятной книги не нашла(.

Подскажите пожалуйста какую-нибудь книгу,где доступным языком описывается данная тема. Или понятия, определения,теоремы, которые нужно знать для решения задачи. Полнейший мрак

[mihailm]

$x^{3m}-1$ делится на $x^2 - x +1$?

[julyk]

Не делится. Только с остатком

[Sonic86]

julyk в сообщении #764072 писал(а):

найти такие $m,n,p$, при которых $x^{3m}-x^{3n+1}+x^{3p+2}$ делится на $x^2 - x +1$.

Можно попытаться так: $g(x)$ делит $f(x)$, если на всех корнях $\alpha$ многочлена $g(x)$ многочлен $f(x)$ тоже обнуляется: $f(\alpha)=0$ (т.е. если все корни $g$ являются корнями $f$). В данном случае корни хорошие.

julyk в сообщении #764072 писал(а):

дисциплина называется "Теоретико числовые методы в криптографии".

Задание - чистая алгебра.

[ewert]

А как насчёт $x^{3m}+1$?

-- Вс сен 15, 2013 15:17:10 --

Sonic86 в сообщении #764091 писал(а):

(т.е. если все корни $g$ являются корнями $f$).

Немного неточно.

[julyk]

Тоже только с остатком. Подумала с одним человеком, вот до чего дошли. Заметим, что у нас нет коэффициентов перед $x^{3m}$, $x^{3n+1}$, $x^{3p+2}$. Также их нет и перед $x^{2}$, $x$ и 1. Я имею ввиду,не вообще коэффициенты, а именно такие, которые мы можем варьировать. В многочлене $x^2-x+1$ видим, что степени уменьшаются на 1. Значит, чтобы многочлен $x^{3m}-x^{3n+1}+x^{3p+2}$ делился, нужно,чтобы и его степени имели такую же зависимость. Получим 2 уравнения:

$$3m=3n+1 +1$$

$$3n+1= 3p+2 +1$$

Решая, получим $m=n+\frac{2}{3}$, $n=p+ \frac{2}{3}$. Подставляем различные $p$, находим степени и многочлен делится...Это имеет право на жизнь?

[_Ivana]

Полтора момента:
0.5) в условии не наложено никаких ограничений на неизвестные, например, что они целые?
1) тривиальная тройка чисел $m=0,n=0,p=0$, удовлетворяющая условию, не очень вписывается в ваше решение.

[ewert]

julyk в сообщении #764107 писал(а):

...Это имеет право на жизнь?

Нет, это следует немедленно расстрелять: по условию числа в показателях целые.

Самый простой способ -- последовать совету Sonic86 и подставить в эту сумму корень $x^2-x+1$, записанный в показательной форме (достаточно один корень), тогда всё довольно очевидно. Если же лень возиться с комплексными числами, но не лень загромождать задачу школьными выкладками, то надо приблизительно по совету mihailm поприбавлять-повычитать к каждой из тех трёх степеней по небольшой степени икса, добиваясь появления подходящих выражений вида $x^{3k}+1$, которые всё-таки делились бы на $x^2-x+1$.