Рассматриваю случай 3zy+1=x^3

[ananova]

Решил вернуться к теме примитивного случая ВТФ.

Если уравнение ВТФ степени 3, при условии $z=y+1$, имеет целочисленные решения, то справедливо:

$3zy+1=x^3$

Касательного этого уравнения, в предыдущих своих топиках я нашел небольшие ошибки, которые, вероятно и Вам бросились в глаза (за что извиняюсь):

сообщении #591609

Возвращаюсь к деталям, которые пропустил ранее.

(Оффтоп)

Мне кстати понравился топик http://dxdy.ru/topic74936.html, где указано, что примитивный случай - наиболее сложный.

В первую очередь интересует Случай 2 ВТФ.

Рассмотрим примитивнейший вариант: $x^3 = 3^{3k}$, тогда уравнение:

$$3zy+1=3^{3k}$$

не имеет решения, т.к. 1 не делится на 3.

Умножение $x$ на новые множители не изменит результата. А значит доказан Случай 2 ВТФ для переменной $x$, имеющей множитель 3.

На форуме неоднокрано указывалось, что достаточно доказать ВТФ для одной переменной, чтобы иметь доказательство ВТФ.
Не уверен совсем, что это заключение подходит именно для этого примитивного случая, поэтому допустим, что $y$ равно $3^k$:

$$3z \cdot 3^k+1=x^3$$

Тогда:

$$3z \cdot 3^k=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

$$3^{k+1}=(x-1)(x^2+x+1)/z$$

Из чего следует, что в правой части все множители являются тройками, что вероятно невозможно, т.к. многочлены $(x-1)$ и $(x^2+x+1)$ взаимно просты.

Если я прав, то примитивный случай доказан.

[ananova]

Чтобы "продвинуться" в доказательстве нужно рассмотреть вариант, когда $(x-1)$ является одним из множителей $z$. А второй множитель $z$ делит $(x^2+x+1)$. Вероятно еще есть куда "копать" ... Так что - можно считать, что этот случай мной не доказан.

[vasili]

Уважаемый(ая) ananova! А если$X-1=3^k w$, а

$X^2 + X +1=(X-1)^2 + 3X = 3u$, тогда

$3^k^+^1Z = 3^k^+^1wu$ и противоречия нет.

[ananova]

vasili в сообщении #763210 писал(а):

Уважаемый(ая) ananova! А если$X-1=3^k w$, а

$X^2 + X +1=(X-1)^2 + 3X = 3u$, тогда

$3^k^+^1Z = 3^k^+^1wu$ и противоречия нет.

@vasili

Соглас(ен).
В таком случае $z=wu$.

Еще можно рассмотреть дополнительное условие: $z^3$ делится на $(3^k+x)$. Оно следует из тождественного равенства $y^3+x^3= (3^k+x)(3^{2k}-3^kx+x^2)$, когда $y=3^k$.

-- Чт сен 12, 2013 19:26:19 --

Поскольку многочлены $(x-1)$ и $(x^2+x+1)$ примитивные, то куб $(x-1)^3 \cdot (x^2+x+1)^3$ не делится без остатка на многочлен $(3^k+x)$. Я прав?

[ananova]

vasili в сообщении #763210 писал(а):

Уважаемый(ая) ananova! А если$X-1=3^k w$, ..

Я не заметил сразу "подвоха". В исходном условии $y > x$. Если мы рассматриваем возможность решения, при $y=3^k$, то ваша "гипотеза" противоречит исходному условию.

[vasili]

Уважаемый ananova! $(X-1)^3$ делиться без остатка на$3^k + X$, так как

благодаря формуле Абеля $3^k +X = U^3$, а известный трехчлен

для 2 случая ВТФ для 3 степени будет

$ X + Y-Z = UU_1U_2$, где $(U,U_1,U_2)$ - делители чисел

$Z, Y,X$ соответственно, удовлетворяющие

формулам Абеля

$X + 3^k -3^k -1 = X-1= UU_1U_2$, тогда

$(X-1)^3 = U^3U_1^3U_2^3$, отсюда ответ очевиден.

Обращаю Ваше внимание на некорректность задания числа $Y = 3^k$, так как

$Y = U_1V_1$, где $(U_1,V_1) =1$ и

$3V_1^3 = Z^2 + ZX +X^2$ -формула Абеля

$3(Z-X) = U_1^3$ - формула Абеля, тогда

следует, что $V_1 = 1$, что противоречит вышеприведенной формуле Абеля.

[ananova]

vasili

Спасибо. Поверхностно ознакомился с Вашими замечаниями. Как только будет что сказать по существу вернусь.

[ananova]

Это не по теме, а для лучшего взаимопонимания.

vasili в сообщении #763519 писал(а):

Уважаемый ananova! ...

Обращаю Ваше внимание на некорректность задания числа $Y = 3^k$, так как

$Y = U_1V_1$, где $(U_1,V_1) =1$ и

...

Да, согласно соотношений Барлоу, для корректного доказательства Случая 2, необходимо использовать не $y = 3^k$, а в Ваших обозначениях $Y = 3^kU_1V_1$ или в моих обозначениях:

$$y=3^ky_1y_2$$

. Я прав?

[vasili]

Уважаемый ananova! Вы рассматриваете один из вариантов 2 случая ВТФ, а именно когда:

$(Y,3) =3$, $(X,3) = 1$ и $(Z,3)=1$.

Если Вы пользуетесь формулами Абеля, то число Y имеет два множителя, удовлетворяющих этим

формулам. Я обозначил их так как это делал М.М. Постников в своей книжке "Теорема Ферма",

изменив нижний индекс (вместо $U_2$,$V_2$ я дал

$U_1$, $V_1$) и тогда $Y = U_1V_1$, где

$(U_1,V_1)= 1$.

Ваша запись $Y =3^kU_1V_1$ неверна, так как множитель $3^k$

является делителем числа $U_1$.

Если логика Ваших размышлений требует представления числа Y произведением иных его делителей,

то это Ваше право ( так у Вас $Y = 3^kY_1Y_2$).

[ananova]

vasili
В самом примитивном случае можно допустить что $y$ равно $3^k$, т.к. в примере множители $z$ всегда можно успеть рассмотреть с недостающими множителями числа $y$, т.к. в конкретно моем примере $z$ и $y$ связаны произведением $3yz$. Согласны?

[lasta]

ananova в сообщении #764315 писал(а):

можно допустить что $y$ равно $3^k$,

Нельзя допустить. Vasili прав. $V_1$, то есть второй множитель формулы Абеля не может равняться $1$. Так как во втором случае ВТФ, известное разложение куба не является взаимно простым . И в Вашем примере квадратный трехчлен равен трем, что не возможно для этого трехчлена со всеми положительными взаимно простыми слагаемыми.

[ananova]

lasta в сообщении #764412 писал(а):

ananova в сообщении #764315 писал(а):

можно допустить что $y$ равно $3^k$,

Нельзя допустить. Vasili прав. $V_1$, то есть второй множитель формулы Абеля не может равняться $1$. Так как во втором случае ВТФ, известное разложение куба не является взаимно простым . И в Вашем примере квадратный трехчлен равен трем, что не возможно для этого трехчлена со всеми положительными взаимно простыми слагаемыми.

Ваш подход мне понятен. То что Вы мне рассказали - я знал до открытия темы. Теперь я узнал что Вы и Vasili знаете, что я знаю.

[ananova]

Я думаю, что надо привести исходное уравнение к соотношениям Барлоу, чтобы прекратить полемику относительно количества переменных:

$$3(3y_1y_2)(3y_1y_2+1)+1=x_2^3$$

где $y=3y_1y_2$, $z=z_1z_2$, $x=x_1x_2$, a $x_1$ (В данном примере равен 1).

Когда $x_2$ - простое число, то доказательство довольно простое. В соседней теме - http://dxdy.ru/topic74936.html - этот случай назван наиболее трудным, но если Вы не видите этого доказательства, то я его могу привести тут.

[vasili]

Уважаемый ananova! Теперь, когда Вы определились с обозначений делителей числа Y, ждем от Вас утверждений.

[lasta]

ananova в сообщении #764724 писал(а):

То что Вы мне рассказали - я знал до открытия темы.

Уважаемый ananova!
Заведомо не приемлемые утверждения или постановки задач не требуют доказательств. Три не равно пяти – чего здесь доказывать. А, Вы, по Вашим же словам, все знали заведомо. Ваши утверждения не открывают каких-либо новых свойств соседних кубов. Однако, в своем сообщении я также допустил ошибку, называя слагаемые квадратного трехчлена взаимно простыми. Правильно – взаимно простые числа решения ВТФ.