Доказать нечётность функции

[Ktina]

Пусть $\varphi (x)$ -- нечётная функция. Доказать, что

$$f(x)=\arctg 2^{\varphi (x)}-\dfrac{\pi}{4}$$

также нечётна.
(стр. №29, задача №5.3. отсюда)

А мне кажется, что существует как раз контрпример:

$$\varphi (x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$$

является нечётной, зато

$$f(x)=\arctg 2^{\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}-\dfrac{\pi}{4}$$

нечётной не является.

Ну не требовать?

[Nemiroff]

Ktina в сообщении #763372 писал(а):

зато

$$f(x)=\arctg 2^{\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}-\dfrac{\pi}{4}$$

нечётной не является.

Ну как же - является.

[provincialka]

Какая разница, чему равна $\varphi$, достаточно доказать для $\varphi(x)=x$, потом подставить любую нечетную.

[Ktina]

Nemiroff в сообщении #763379 писал(а):

Ktina в сообщении #763372 писал(а):

зато

$$f(x)=\arctg 2^{\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}-\dfrac{\pi}{4}$$

нечётной не является.

Ну как же - является.

Это Вы порядок действий изменили. Сперва в степень возвели, а уж потом взяли арктангенс.

[gris]

Э, нет. По правилам действие функции распространяется до первого знака действия после первой сбалансированной скобки.
Возведение в степень не является знаком арифметического действия.
$\sin x+y \ne \sin (x+y);\quad \ln xy \ne \ln x \cdot y; \quad \cos 2^5\ne \cos^5 2$

[Ktina]

gris,
Вы правы, это у меня ошибка.
Спасибо!