Вопросы о гладких функциях

[Thinker]

1. Почему в русскоязычной литературе гладкая функция обычно определяется как функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения, а в англоязычной – как функция, имеющая производные всех порядков? Очевидно, что второе требование более сильное, ибо если функция хотя бы дважды дифференцируема, то ее производная уже непрерывна. С другой стороны, из непрерывности первой производной не следует существование даже второй производной, не говоря уже о всех остальных. Какое же определение правильное?
2. Рассмотрим функцию $y = \sqrt[3] x$. Очевидно, что ее производная $y = 1/(3x^{2/3})$ в точке 0 имеет разрыв второго рода. Следовательно, не удовлетворяется ни одно из приведенных условий гладкости. Но разве $y = \sqrt[3] x$ - не гладкая функция?

[Munin]

Thinker в сообщении #762477 писал(а):

Почему в русскоязычной литературе гладкая функция обычно определяется как функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения, а в англоязычной – как функция, имеющая производные всех порядков?

И в той, и в другой литературе есть и то, и другое определение. Просто называются они по-разному, и не надо полагаться на буквальный перевод. Надо переводить термины, сопоставляя их значения.

[gris]

А в каком учебнике есть определение гладкой функции?
По-моему, это достаточно расплывчатый термин, означающий дифференцируемость функции достаточное число раз в контексте обсуждения. При необходимости точного указания на класс функции, употребляют слова "бесконечно-, непрерывно-, дважды- дифференцируемая функция".
Другое дело — гладкая кривая. График функции из второго пункта является гладкой кривой, но про саму функцию нельзя сказать, что она гладкая.

[Thinker]

gris в сообщении #762495 писал(а):

А в каком учебнике есть определение гладкой функции?

Оно есть в Википедии.

gris в сообщении #762495 писал(а):

Другое дело — гладкая кривая. График функции из второго пункта является гладкой кривой, но про саму функцию нельзя сказать, что она гладкая.

По-моему, гладкой функции соответствует гладкая кривая и наоборот.

[Munin]

Thinker в сообщении #762597 писал(а):

Оно есть в Википедии.

Запомните, Викимусорка - не источник. Пользуйтесь учебниками, Математической энциклопедией. Можно пользоваться серьёзными заслуженными информационными сайтами. Например, Wolfram's MathWorld, Scholarpedia, Tangent Bundle. Там приведены источники, как минимум.

[ewert]

Thinker в сообщении #762597 писал(а):

По-моему, гладкой функции соответствует гладкая кривая и наоборот.

Нет, и вот как раз контрпример:

Thinker в сообщении #762477 писал(а):

Но разве $y = \sqrt[3] x$ - не гладкая функция?

[Someone]

Залез в Математическую энциклопедию и обнаружил следующие определения (форматирование оригинала не сохраняю).

Гладкая точка функции — значение аргумента $x$ функции $f$, при котором выполнено условие

$$\lim\limits_{\lvert h\rvert\to 0}\frac{\lvert f(x+h)+f(x-h)-2f(x)\rvert}{\lvert h\rvert}=0.$$

Точка дифференцируемости функции является гладкой точкой, обратное, вообще говоря, неверно. Если в гладкой точке существует односторонняя производная, то существует и обычная производная.

(У меня такое впечатление, что определение относится и к функциям нескольких переменных.)

Гладкая функция — функция, у которой каждое значение аргумента является гладкой точкой.
Гладкая функция может быть разрывной. Если гладкая функция непрерывна на интервале, то множество её точек дифференцируемости плотно на нём и имеет мощность континуума. Существуют непрерывные, гладкие на числовой прямой функции, не дифференцируемые почти всюду. Гладкая функция имеет производную в каждой точке локального экстремума и, в силу этого, для гладких непрерывных функций остаются справедливыми основные теоремы дифференциального исчисления — теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, Дарбу и другие.

[Thinker]

Munin в сообщении #762603 писал(а):

Запомните, Викимусорка - не источник.

А что Вы имеете против Википедии? По-моему, там ошибок не больше, чем в учебниках. Ведь учебники тоже пишут люди, которые могут ошибаться. Было бы интересно увидеть ссылки на статьи по математике в Википедии, в которых Вы нашли ошибки.

[Munin]

Thinker в сообщении #763350 писал(а):

А что Вы имеете против Википедии?

Общеизвестно: туда пишет кто что хочет.

Thinker в сообщении #763350 писал(а):

По-моему, там ошибок не больше, чем в учебниках.

Ну вот, это по-вашему. А чем лучше человек становится специалистом, тем больше он ошибок в Википедии видит. Постепенно, он приходит к выводу, что Википедия во много раз хуже учебника, она просто на другом уровне.

Правда, это зависит от конкретной статьи и темы, но одно то, что Википедия "пёстрая", не позволяет ей пользоваться.

Ещё, это зависит от языкового раздела. Англоязычная Wikipedia существенно лучше (хотя до учебника всё-таки не дотягивает). Это вызвано "разными менталитетами": в англоязычном секторе гораздо выше отношение модераторов к писателям, и за качеством статей реально следят. Очень часто - полноценные специалисты.

Короче, у Википедии есть своя ниша, и не надо пытаться использовать её не по назначению.

Thinker в сообщении #763350 писал(а):

Ведь учебники тоже пишут люди, которые могут ошибаться.

Это да, но количественно - небо и земля.

Thinker в сообщении #763350 писал(а):

Было бы интересно увидеть ссылки на статьи по математике в Википедии, в которых Вы нашли ошибки.

По математике я не считаю себя специалистом. Но по физике - однажды на спор я так и сделал. Мне дали 10 (или 20, не помню) статей по физике, по выбору спрашивающего, я почти в каждой (9 из 10, кажется) нашёл грубейшие ошибки. Я уверен, что присутствующие здесь на форуме специалисты по математике - могут сделать то же самое со статьями по математике. (И иногда - делают.)

[ewert]

Someone в сообщении #762953 писал(а):

Гладкая функция — функция, у которой каждое значение аргумента является гладкой точкой.
Гладкая функция может быть разрывной.

Это весьма специфическая терминология. Обычно под гладкими функциями понимают всё-таки непрерывно дифференцируемые (один раз, или несколько, или бесконечное количество раз -- по вкусу). Тут Математическая энциклопедия явно не права -- следовало бы оговорить в словарной статье и другие, более употребительные значения этого термина. В этом отношении Вика куда разумнее; но.

Thinker в сообщении #763350 писал(а):

Было бы интересно увидеть ссылки на статьи по математике в Википедии, в которых Вы нашли ошибки.

Пожалуйста. Вы, скорее всего, ссылались на эту статью:

http://ru.wikipedia.org/wiki/%C3%EB%E0%E4%EA%E0%FF_%F4%F3%ED%EA%F6%E8%FF

Формальных ошибок вроде и нет (мне, во всяком случае, они на глаза не попались); тем не менее, изложение никуда не годится. Буковка $\Omega$ для области определения явно намекает на то, что имеются в виду функции нескольких переменных, а в конце речь уже прямым текстом именно о них. Между тем в самом начале идёт ссылка на статью "Производная функции", в которой говорится о дифференцировании исключительно функций одной переменной; нехорошо-с. С аналитичностью ещё хуже. Они там отсылают к статье "Аналитическая функция", где уже явный криминал с определением аналитичности функций комплексного переменного. Там, например, удивительным образом опущено в определённом смысле основное определение аналитичности как дифференцируемости по $z$. В определении через ряд должен быть не ряд Тейлора, а просто степенной (это уже потом он оказывается Тейлора). Вообще всё как минимум неряшливо: прежде чем говорить о производных (тем более о ряде Тейлора), следовало бы наложить на функцию хоть какие-то требования дифференцируемости, там же об этом ни гу-гу; между тем эти требования в разных вариантах определения -- разные.

[migmit]

Thinker в сообщении #763350 писал(а):

Было бы интересно увидеть ссылки на статьи по математике в Википедии, в которых Вы нашли ошибки.

Например.