Задача на нахождение касательной

[Limit79]

Найти все $x$, при которых касательная к графику функции $f(x)=x^3-3x^2-7x+6$ в точке с абсциссой $x$ отсекает от положительной полуоси абсцисс вдвое меньший отрезок, чем от отрицательной полуоси ординат.

Пусть $(x_{0},y_{0})$ - точка касания.

Уравнение касательной к $f(x)$ в точке $x_{0}$:

$y=-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+6+3x_{0}^{2} \cdot x - 6x_{0} \cdot x-7x$

Точка пересечения данной касательной с осью $Ox$: $\left( \frac{3x_{0}^{2}-6x_{0}-7}{-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+6} ; 0\right)$

Точка пересечения данной касательной с осью $Oy$: $\left(0;-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+6\right)$

Тогда:

$2 \cdot \left( \frac{3x_{0}^{2}-6x_{0}-7}{-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+6} \right ) = -2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+6$

При условиях:

$\left( \frac{3x_{0}^{2}-6x_{0}-7}{-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+6} \right ) > 0$ и $-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+6 < 0$

Но у уравнения: $2 \cdot \left( \frac{3x_{0}^{2}-6x_{0}-7}{-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+6} \right ) = -2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+6$ - все корни — комплексные.

Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так.

[provincialka]

Вы минус забыли, ведь "отрезок" имеет положительную длину.

Кстати, можно решать и по-другому, записать уравнение прямой нужного наклона и потребовать, чтобы она была касательной

[Limit79]

provincialka
Вот так $2 \cdot \left( \frac{3x_{0}^{2}-6x_{0}-7}{-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+6} \right ) = -(-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+6)$ ? А у этого уравнения непонятно как искать корни.

Спасибо за совет, сейчас попробую так сделать.

-- 11.09.2013, 22:17 --

provincialka
Большое спасибо, Ваш способ намного проще.

По условию $\tg(\phi)=2$.

Тогда: $3x_{0}^{2}-6x_{0}-7=2$, то есть $x_{0}=-1$ и $x_{0}=3$.

Получаем две касательные: $y=2x+11$ и $y=2x-21$.

Первая не подходит по условию, тогда $x_{0}=3$.


Но не могу понять, почему не получается моим способом...

[provincialka]

Ну что ж, не все способы одинаково хороши. Теоретически вы получили некоторое уравнение на $x_0$, просто очень большой степени. Среди его корней есть и нужные. Можете подумать, есть ли другие и если есть, чему они соответствуют. Ну, если Вам не лень