Задача на непрерывность

[ewert]

Кстати, а где-нибудь здесь выкладывалось формальное доказательство невозможности такой кусочно-монотонной функции? Что-то мне кажется, что до конца никто так это и не добил. А там (по-моему) пусть и небольшая, но всё-таки морока.

[nikvic]

ewert в сообщении #761696 писал(а):

Более того, пример здесь на форуме, насколько я помню, тоже приводился, только в какой-то другой ветке. Там примерно так: бесконечная ломаная с вершинами, абсциссы которых образуют монотонную сходящуюся последовательность, а ординаты суть $0,y_1,y_3,y_1,y_3,y_2,y_4,y_2,y_4,y_3,y_5,y_3,y_5,\ldots$, где последовательность $\{y_k\}$ монотонно стремится к нулю.

Что-то многовато раз используется третий член...
Вот моё решение -

[ewert]

nikvic в сообщении #761923 писал(а):

Что-то многовато раз используется третий член...

Ну, каши маслом не испортишь.

Я, когда по смутному воспоминанию восстанавливал тот пример, исходил из очень простого соображения: чтоб очередные вершинки и появлялись, и исчезали лишь в чётных количествах.

Да, меня несколько минут смущало, что они появляются и исчезают одновременно, и я пытался с этой неэстетичностью бороться. Но -- лишь несколько минут. Потом же подумал: а нафига?... чем проще формальная запись -- тем лучше.

[Oleg Zubelevich]

Теорема. Предположим функция $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ гладкая и $f(0)\ne f(1)$. Пусть для определенности $f(1)>f(0)$. Тогда мера множества $y\in[f(0),f(1)]$, для которых уравнение $f(x)=y$ имеет четное число решений ,равна нулю.

[Dave]

Oleg Zubelevich в сообщении #762117 писал(а):

Теорема. Предположим функция $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ гладкая и $f(0)\ne f(1)$. Пусть для определенности $f(1)>f(0)$. Тогда мера множества $y\in[f(0),f(1)]$, для которых уравнение $f(x)=y$ имеет четное число решений ,равна нулю.

Только зачем гладкость-то? Непрерывности достаточно.
Если при каком-то $y \in (f(0),f(1))$ количество таких $x$, что $f(x)=y$, чётно, то хотя бы один из этих $x$ обязательно должен быть строгим локальным экстремумом (ни на каком из отрезков между этими $x$, а также $0$ и $1$ функция $f(x)-y$ не меняет знак). А общее количество строгих локальных экстремумов у любой функции, определённой на любом подмножестве прямой, не более чем счётно. Так как у каждого такого экстремума свой однозначно определяемый $y$, то всего вышеописанных $y$ не более чем счётное множество.

[Oleg Zubelevich]

да, забыл сказать, моем сообщении $\infty$ следует считать четным числом

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #762348 писал(а):

моем сообщении $\infty$ следует считать четным числом

Не следует, это бессмысленно.

Dave в сообщении #762219 писал(а):

то хотя бы один из этих $x$ обязательно должен быть строгим локальным экстремумом

Не обязан -- без допоговорок к-во пересечений запросто может оказаться бесконечным, а тогда вся логика рушится.

[Dave]

ewert в сообщении #762524 писал(а):

Dave в сообщении #762219 писал(а):

то хотя бы один из этих $x$ обязательно должен быть строгим локальным экстремумом

Не обязан -- без допоговорок к-во пересечений запросто может оказаться бесконечным, а тогда вся логика рушится.

Если бесконечность, как Вы выше заметили, не считается чётным числом, то количество пересечений линии $y=y_0$ для рассматриваемого $y_0$ конечно.

[ewert]

Я только обращаю внимание на то, что количество уровней, на которых к-во пересечений может оказаться бесконечным -- заслуживает отдельного внимания. И относиться к этому возможному случаю столь разгильдяйски -- как-то есть не вполне комильфо.

[Dave]

Моё решение, если Вы заметили, относилось к случаю, когда бесконечность не считалась чётным числом, поскольку было отправлено, до соответствующей поправки к условию. Поэтому на тот момент это было вполне комильфо.

[Oleg Zubelevich]

На всякий случай повторю формулировку аккуратней.


Предположим функция $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ гладкая и $f(0)\ne f(1)$. Пусть для определенности $f(1)>f(0)$.

По определению будем считать, что точка $y$ принадлежит множеству $Y$ если

($y\in[f(0),f(1)]$) и ((уравнение $f(x)=y$ имеет четное число решений) или (уравнение $f(x)=y$ имеет бесконечно много решений))

Теорема. Мера множества $Y$ равна нулю.

[sup]

План такой. Для всякого $y$ обозначим $g(y)$ - количество решений уравнения $f(x) = y$ ($g(y)$ может равняться $\infty$).
Пусть $n>0$ - натуральное. Положим $g_n(y) = \min (n,g(y))$. Доказываем измеримость $g_n(y)$. А потом
$\int g_n(y)dy \leqslant \int \limits_0^1 |f'(x)|dx$
Устремляя $n \to \infty$ получаем, что мера множества, на котором $g(y) = \infty$ равна 0.
Возможно потребуется привлечь теорему Сарда (а может и нет).

[Oleg Zubelevich]

Я рассуждал так. Для всех невырожденных точек $y\in(f(0),f(1))$ степень отображения $f$ равна $\pm 1$ -- в силу того, что оно гомотопно линйной функции вида $ax+b,\quad a\ne 0$. Поэтому для невырожденных $y$ из указанного интервала уравнение $f(x)=y$ имеет нечетное число решений. Остальные $y$ вырожденные -- теорема Сарда.