Существует ли непрерывная функция с заданным свойством?

[Ktina]

Существует ли непрерывная функция $f:\mathbb R\to\mathbb R$ такая, что

$$\forall x\in\mathbb R:\quad f(f(x))=|x|-2x~\text{?}$$

(Попытка попытки)

Мне кажется, что нет.
По условию, $f(f(0))=0$.
Пусть $f(0)=a\in\mathbb R$. Тогда

$$f(f(a))=f(f(f(0)))=f(0)=a$$

, откуда следует, что $a=0$ (ведь по условию имеем $f(f(x))=x\to x=0$). Итак,

$$f(0)=0$$

Теперь пусть $f(b)=0$. Тогда $f(f(b))=0$, откуда следует $b=0$.
Значит, наша функция принимает нулевое значение в точке 0 и только в ней.
Но тогда, поскольку наша функция по условию непрерывна, она не может менять знак более одного раза. То есть, $\forall c>0$ все значения нашей функции должны быть одного знака, и $\forall c<0$ тоже.
Но тогда

$$(c>0~\to~f(c)>0)\to (c>0\to f(f(c))>0)$$

, а это противоречит условию.
Значит,

$$c>0~\to~f(c)<0$$

Далее,

$$(c<0~\to~f(c)<0)\to (c<0\to f(f(c))<0)$$

, а это также противоречит условию.
Следовательно,

$$c<0~\to~f(c)>0$$

Таким образом, наша функция при положительных аргументах принимает только отрицательные значения, а при отрицательных аргументах -- только положительные значения.
Но тогда $x$ и $f(f(x))$ должны быть одного знака, а по условию они разных знаков.
Мы пришли к противоречию, доказывающему, что такой функции не существует.

Пожалуйста, помогите решить.

[Xaositect]

По-моему, все хорошо. А Вам что-то не нравится в Вашем решении?

[Ktina]

Xaositect в сообщении #761582 писал(а):

По-моему, все хорошо. А Вам что-то не нравится в Вашем решении?

Его объём.

[ewert]

Ktina в сообщении #761583 писал(а):

Его объём.

Да нормальное решение, только слишком длинно записанное. Скажем, $f(0)=0$ вовсе не из-за непрерывности, а просто потому, что $f(f(f(0)))=f(0)$ и одновременно $f(f(f(0)))=|f(0)|-2f(0)$. Далее, исходная функция обязана принимать значения разных знаков, иначе этим свойством не могла бы обладать итерированная функция. И вот только теперь непрерывность: поскольку функция обязана изменять знаки при переходе через ноль и только через него -- после повторного её применения все знаки должны восстанавливаться, по условию же всё в точности наоборот.

[Ktina]

ewert,
мне тут в личке подсказали, что теорему Больцано-Коши можно использовать.

[ewert]

Ktina в сообщении #761601 писал(а):

мне тут в личке подсказали, что теорему Больцано-Коши можно использовать.

А Вы её фактически и использовали:

Ktina в сообщении #761573 писал(а):

Значит, наша функция принимает нулевое значение в точке 0 и только в ней.
Но тогда, поскольку наша функция по условию непрерывна, она не может менять знак более одного раза.

Только зачем называть чёрта по имени?...