Вычислить предел (семь Лопиталей)

[Ktina]

Вычислить предел:

$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x^5-120\sin x-20x^3+120x}{x^7}$$

Семь Лопиталей — долго и нудно.
Дочь атлет? Маклоренить?
Олимп гипотез!

[Xaositect]

Ужас. Зачем Лопитали? Сумма пределов равна пределу суммы.

[Ms-dos4]

С разложением в ряды получается достаточно красиво. Легко заметить, что разложение синуса до 7-го порядка убьёт в числителе всё, и останется лишь коэффициент при $\[{{x^7}}\]$, который равен $\[ - 120\frac{{{{( - 1)}^3}}}{{(2 \cdot 3 + 1)!}} = \frac{{5!}}{{7!}} = \frac{1}{{42}}\]$. Это и есть значение предела.

[ИСН]

Ну Вы же знаете маклореновское разложение синуса, вот его туда и подставьте.
Come to think of it, а что плохого в семи лопиталях? Мишура сгорает, сверху остаётся мигающий синус-косинус, а снизу - число.

[Ktina]

Xaositect в сообщении #761184 писал(а):

Ужас. Зачем Лопитали?

Мне показалось, что там неопределённость вида $\dfrac{0}{0}$

-- 07.09.2013, 00:00 --

ИСН в сообщении #761187 писал(а):

Come to think of it, а что плохого в семи лопиталях?

То, что их семь.

-- 07.09.2013, 00:01 --

Ms-dos4 в сообщении #761186 писал(а):

С разложением в ряды получается достаточно красиво. Легко заметить, что разложение синуса до 7-го порядка убьёт в числителе всё, и останется лишь коэффициент при $\[{{x^7}}\]$, который равен $\[ - 120\frac{{{{( - 1)}^3}}}{{(2 \cdot 3 + 1)!}} = \frac{{5!}}{{7!}} = \frac{1}{{42}}\]$. Это и есть значение предела.

У меня тоже получилось $\dfrac{1}{42}$, но только через семь лопиталей.

[Xaositect]

Ktina в сообщении #761189 писал(а):

Мне показалось, что там неопределённость вида $\dfrac{0}{0}$

Ой. извините. Это я что-то не туда посмотрел и подумал, что это все на бесконечности.

А так да, через ряд или Лопиталями, что по сути одно и то же.

[Oleg Zubelevich]

это пустячок, вот

$$\frac{\tg\sin x-\sin\tg x}{x^7}$$

повеселее

[provincialka]

Это еще ничего! Вот если бы Вам пришлось такой предел брать: $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tg(\sin x)-\sin(\tg x)}{x^7}$! Вот это морока! Там по Тейлору тоже в числителе порядка $x^7$. А по Лопиталю даже и не возьмусь!

Черт, одновременно написали! Ладно не буду стирать.

[Ktina]

Oleg Zubelevich в сообщении #761194 писал(а):

это пустячок, вот

$$\frac{\tg\sin x-\sin\tg x}{x^7}$$

повеселее

Это было на матбоях СПбГу, кажется.

-- 07.09.2013, 00:12 --

provincialka в сообщении #761195 писал(а):

Черт, одновременно написали! Ладно не буду стирать.

Не стирайте! У Вас со скобками, а надо именно так.

[provincialka]

Это есть в Демидовиче (числитель), в разделе, посвященном выделению главной части.

[Ktina]

provincialka в сообщении #761199 писал(а):

Это есть в Демидовиче (числитель), в разделе, посвященном выделению главной части.

Страничку назовите, если не затруднит.

[ИСН]

Да это всё ладно, а вот:

$$\frac{\tg\sin x-\sin\tg x}{\arctg\arcsin x-\arcsin\arctg x}$$

[arseniiv]

Ktina в сообщении #761197 писал(а):

У Вас со скобками, а надо именно так.

Разве Венская конвенция 1826 года не установила эти варианты равнозначными?..

[Ktina]

ИСН в сообщении #761204 писал(а):

Да это всё ладно, а вот:

$$\frac{\tg\sin x-\sin\tg x}{\arctg\arcsin x-\arcsin\arctg x}$$

Икс к нулю стремится?

-- 07.09.2013, 00:59 --

arseniiv в сообщении #761207 писал(а):

Ktina в сообщении #761197 писал(а):

У Вас со скобками, а надо именно так.

Разве Венская конвенция 1826 года не установила эти варианты равнозначными?..

Впервые слышу про Невскую...что за зверь?

-- 07.09.2013, 01:01 --

Там про какие-то сношения: http://www.un.org/ru/documents/decl_con ... _rel.shtml

[arseniiv]

Ну вот, а я думал, они не так часто конвенции писали.

-- Сб сен 07, 2013 04:20:04 --

Серьёзно, вы думаете, что $\sin\tg a$ можно понять как $\mathop{(\sin\tg)} a$?