Прогрессии, 7 класс

[provincialka]

Да, странная задача, слишком много ответов. Может, надо было найти не сами числа, а сумму всех их цифр?

Eiktyrnir , а вы обозначьте сумму первых цифр через $a$, третьих - через $c$, тогда сумма вторых цифр будет $(a+c)/2$. А чему будет равна сумма всех трех чисел, кроме того, что она равна 750? Получаем уравнение, решениями которого могут быть целые числа от 0 до 27. Перебор там небольшой, лучше проводить его по $a$.

[Алексей К.]

provincialka в сообщении #760930 писал(а):

тогда сумма вторых цифр будет $(a+c)/2$.

Вот я как раз хотел, чтобы Eiktyrnir до этого дошёл. Именно этого фактика он, похоже, не ущучивает. Что суммы образуют прогрессию.

И тогда у нас сумма младших цифр --- $10i$, сумма средних --- $10i+D$, старших --- $10i+2D$.
При этом именно $i$ переносится во второй столбик:

$$\underbrace{10i+D}_\text{сумма} +\underbrace{ i}_\text{перенос} = 10j+5\qquad {\color{blue}[\text{т. е.~~}{=}5?\; {=}15?\; {=}25?]}.$$

А в первый столбик переносится $j$:

$$\underbrace{10i+2D}_\text{сумма} +\underbrace{j}_\text{перенос} = 7.$$

Исключаем $D$ из двух уравнений, смотрим на $i,j$, которые маленькие по определению...

[Shadow]

Алексей К. в сообщении #761025 писал(а):

Вот я как раз хотел, чтобы Eiktyrnir до этого дошёл

Так он до этого дошел, но как-то коряво продолжил. Условие, что цифры образуют арифм. прогрессию экономит одну переменную:
$\overline{xyz}=100x+10\cdot \frac{x+z}{2}+z=105x+6z$
где x и z - одинаковой четности. Что в сумме, после сокращения на 3 дает уравнение:
$35X+2Z=250$, где X,Z - (одинаковй четности, а значит четные) $X>3$ и не делится на 4, короче единственное решение $X=6,Z=20$
Значит любые 3 цифры с суммой 20 дадут решение/решения, причем если все 3 "z" четные, решением для X будет $(2,2,2)$, а если 1 четное, 2 нечетые - $(2,3,1) \text{ и } (4,1,1)$
Посчитал 18 разных решений.
Пробовал с суммой 570,705,507 - тогда нет ни одного решения.

[gris]

Я лучше решил, только меня почему-то.
Пусть первые цифры $a,b,c\in \{1,...9\}$, а разности соотв $k,l,m\in \{0;\pm 1,...,\pm 4\}$.

$$100a+10(a+k)+(a+2k)\quad+\quad 100b+10(b+l)+(b+2l)\quad+\quad100c+10(c+m)+(c+2m)=750$$

$$(111a+12k)+(111b+12l)+(111c+12m)=111(a+b+c)+12(k+l+m)=750$$

$$37(a+b+c)+4(k+l+m)=250$$

Легко получить, что не любая (спс Shadow, я ведь давно уже решал ) комбинация $a+b+c=6;k+l+m=7$, но только она даёт решение.

[Shadow]

По сути такое же, Вы взяли в качестве второй переменной разность прогрессий. $k+m+l=7$ необходимое, но недостаточное условие для решения. Любое из них не может быть по модулю больше 4, в зависимости от $a,b,c$ на них есть дополнительные ограничения.
Лучше не знаю но...не хуже.

[Eiktyrnir]

Я выражаю самую искреннюю признательность и благодарность Алексей К., Shadow, Gris, Munin и provincialka за плодотворное обсуждение данной непростой задачки. Ваше обсуждение для меня сыграло важную роль. И это не громкие слова, а как всегда нескрываемое чувство радости которое я всякий раз испытываю от общение с вами!

[Eiktyrnir]

Shadow в сообщении #761046 писал(а):

По сути такое же, Вы взяли в качестве второй переменной разность прогрессий. $k+m+l=7$ необходимое, но недостаточное условие для решения. Любое из них не может быть по модулю больше 4, в зависимости от $a,b,c$ на них есть дополнительные ограничения.
Лучше не знаю но...не хуже.

Обозначим через $x$ сумму первых цифр (цифры сотен) трехзначных чисел, через $y$ – сумму третьих цифр (цифры единиц), тогда сумма вторых цифр (цифры десятков) будет равна . По условию задачи,
$100x+10\frac{x+y}{2}+y=750$
$100x+5(x+y)+y=750$
$105x+6y=750$
$35x+2y=250$
Этому условию будут удовлетворять числа $x=6, y=20$, значит, первые цифры чисел могут быть $1, 2, 3, 4$. Сумма третьих цифр равна $20$, а сумма вторых – $13$ т.е. $\frac{(20+6)}{2}$. Рассматривая различные выборы, получим 18 троек трёхзначных чисел, обладающих указанным в условии задачи свойством. Необходимо заметить, что если цифры каждого трехзначного числа составляют арифметическую прогрессию, то и суммы цифр каждой тройки также образуют арифметическую прогрессию. Например, возьмем одну из найденных троек чисел: $123, 159$ и $468$, сумма цифр сотен $1+1+4=6$, сумма цифр десятков $2+5+6=13$, сумма цифр разряда единиц $3+9+8=20$, т.е. $(20+6):2=13$. Задача имеет $18$ решений:
Ответ: $(123; 159; 468), (123; 258; 369), (135; 147; 468), (135; 159; 456), (135; 246; 369), (135; 258; 357), (147; 147; 456), (147; 159; 444), (147; 234; 369), (147; 246; 357), (147, 258, 345), (159; 159; 432), (159; 222; 369), (159; 234; 357), (159; 246; 345), (159; 258; 333), (234; 258; 258), (246; 246; 258)$.