Отношение двух последовательностей.

[Руст]

Пусть заданы две одинаково рекурентные последовательности:
$x_0=0,x_1=1,y_0=1,y_1=0,$
$ \ x_{n+1}=2x_n+(2n-1)^2x_{n-1}, \ y_{n+1}=2y_n+(2n-1)^2y_{n-1}.$
Найти предел

$$\lim_{n\to \infty}\frac{x_n}{y_n}.$$

[OZH]

Не могу понять, что такое будет $\frac{x_1}{y_1}$...

[bot]

А зачем это понимать? Очевидно, что $y_n>0$ при $n\ge 2$. Вот и считайте, что последовательность $\frac{x_n}{y_n}$ начинается с номера 2 - это обычное соглашение в таких задачах, не требующее особых оговорок.

[TOTAL]

Руст писал(а):

Найти предел

$$\lim_{n\to \infty}\frac{x_n}{y_n}.$$

$$+ \infty$$

[maxal]

Руст писал(а):

Пусть заданы две одинаково рекурентные последовательности:
$x_0=0,x_1=1,y_0=1,y_1=0,$
$ \ x_{n+1}=2x_n+(2n-1)^2x_{n-1}, \ y_{n+1}=2y_n+(2n-1)^2y_{n-1}.$
Найти предел

$$\lim_{n\to \infty}\frac{x_n}{y_n}.$$

Рекуррентное соотношение можно переписать в виде:
$x_{n+1} - (2n+1)x_n = -(2n-1)(x_n - (2n-1)x_{n-1}).$
Откуда легко вычисляется:

$$x_{n+1} - (2n+1)x_n = (-1)^n (2n-1)!!,$$

$$y_{n+1} - (2n+1)y_n = (-1)^{n+1} (2n-1)!!,$$

и соответственно

$$x_n = (2n-1)!!\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2k+1},$$

$$y_n = (2n-1)!!\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}.$$

Получаем, что $x_n+y_n = (2n-1)!!$ и

$$\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(2n-1)!!}{y_n} - 1 = \frac{4}{4-\pi} - 1 = \frac{\pi}{4-\pi}.$$

[juna]

Странно. Легко получить $y_2=1$, $y_3=2$. Также $x_1=1$, $x_2=2$. Значит для $n>1$ $y_n=x_{n-1}$.
$\lim\limits_{n\to{\infty}}\frac {x_n}{y_n}=\lim\limits_{n\to{\infty}}\frac {x_n}{x_{n-1}}=2+(2n-1)^2x_{n-2}=+\infty$, т.к. последовательность $\{x_n\}$ - возрастающая.

[maxal]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Странно. Легко получить $y_2=1$, $y_3=2$. Также $x_1=1$, $x_2=2$. Значит для $n>1$ $y_n=x_{n-1}$.

Не значит. Не забывайте, что в рекуррентную формулу для $x_n$ и $y_n$ входит функция, зависящая от $n$.

[juna]

Понял ошибку.

[maxal]

Кстати, вот эти последовательности в OEIS:
$x_n$: A024199
$y_n$: A024200