Кострикин. L в К

[Barabashka]

Доброго времени суток.

Пусть $L$- линейное пространство над $K$. Рассмотрим сначала линейное пространство $F(L)$ всех функций на $L$ со значениями в $K$.

Я не пойму последнее предложение. В нем а) утверждается, что все функции $f:L\rightarrow K$ образуют линейное пространство или б) рассмотреть только те все функции, которые образуют линейное пространство? Если это а), то можно объяснить из каких несказанных утверждний это следует.

Спасибо.

[Xaositect]

Утверждается (а). Это следует из того, что множество всех функций с операциями поточечного сложения и умножения на скаляр из $K$ удовлетворяет аксиомам линейного пространства.

[Barabashka]

Что-то не пойму.

имеем $(f+g)(s) = f(s)+g(s)$ и $(af)(s) = a(f(s))$

Я так полагаю, что множество всех функции - линейное пространство над полем $K$.

тогда как расскрыть выражение для дистрибутивности $(a+b)f(l), a,b \in K, l \in L$ ???

[Xaositect]

Я не понимаю, в чем у Вас проблема.

Давайте распишем чуть подробнее.
$f+g$ --- это такая функция $h$, что $h(x) = f(x) + g(x)$ для любого $x\in L$. Аналогично для $af$.

Тогда дистрибутивность будет $(a+b)f = af + bf$. То есть для каждой точки $x$ должно выполняться равенство $(a+b)f(x) = af(x) + bf(x)$, и оно выполняется потому, что $K$ --- поле.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Barabashka]

1. $(f+g)(s) = f(s)+g(s)$
2. $(af)(s) = a(f(s))$

равенство 1. условное. Оно удобно потому, что она позволяет доказать, что линейные функции образуют линейное пространство.
бинарная операция сложения над множество функций определена правостоящим выражение в условном равенстве. Никто впринципе не запрещает мне определить бинароное действие над можеством функции выражением, скажем, $f(s)+g(s)+f(s)g(s)$ где бинарные операции сложения и умножения введены над множеством $K$. Это ведь множество функции $S \rightarrow K$, т.е. все возможные отображения.

Равенство позволяет переходить из одного символного выражения к другому. Так как $f(s),g(s) \in K$ то они перестановочны, т.е. $f(s)+g(s) = g(s)+f(s)$, а символьное равенство позволяет мне его перевести в равенство $(f+g)(s) = (g+f)(s)$, т.е. область занчения определяет бинаное действие над моножеством функций - коммутативным.

Я что-то не пойму как вы поставили равенство в выражении $(a+b)f = af + bf$. Можно подробнее показать, почему из условий 1.,2. и того факта, что областью значения функции является поле, следует законность равенства в вашем символьном выражении ???

[provincialka]

Ведь операции на функциях заданы поточечно, в каждом $x$ отдельно. А значения в каждой точке - элементы поля, для них "хорошие" свойства выполняются. В чем же проблема?

[mihailm]

Barabashka в сообщении #760646 писал(а):

...Я что-то не пойму...

Есть такой классический пример, даваемый обычно сразу после введения линейного пространства - множество многочленов образует линейное пространство, разберите вначале его, или тут все ясно?

[Barabashka]

Ясно. Понял ваши "хорошие" свойства.

И $a$, и $b$, и $f(l)$ из поля $K$, и плюс с уможением над полем, потому имею право раскрыть скобки, а дальше вспоминаем, что у нас есть условные выражения 1. и 2. и как следсвие получаем нужные выражения. $(a+b)(f(l)) = a(f(l))+b(f(l))=$ потому, что из поля $=(af)(l)+(bf)(l)=$ потому что 2. $=(af+bf)(l)=$ потому что 1. $=(a+b)f = af + bf$ потому что для $\forall l\in L$. С остальными аксиомами разберусь наверное. Да, математики, видимо, часто прибегаю к такому трюку. Буду знать.