Матрица рассеяния.

[EvilPhysicist]

Хочу рассчитать матричные элементы матрицы рассеяния в КЭД.
Матрица рассеяния по определению

$$ S=T \exp\left( i \int d^4 x L_\text{int}(x) \right) ~, $$

так ли это?

Если да, то для КЭД $L_\text{int}=q A_\mu \bar \psi \gamma^\mu \psi$ и матрицу расеяния можно разложить в ряд

$$ S=1 +iq \int d^4 x ~ T[ A_\mu \bar \psi \gamma^\mu \psi] -\cfrac{q^2}{2!} \int d^4 x ~ d^4 y ~ T [A_\mu(x) \bar \psi(x) \gamma^\mu \psi(x)] T[ A_\nu(y) \psi(y) \gamma^\nu \psi(y)] ~. $$

Но мне не совсем понятно как считать матричные элементы. То есть хочу я вычислить $\langle y \rvert S \lvert x \rangle$. В нулевом приближении это

$$ \langle y \rvert S \lvert x \rangle=\langle 0 \rvert \overline{\psi^-}(y) \psi^+(x) \lvert 0 \rangle = S^c(y-x) $$

точный электронный пропагатор. Первая поправка к нему будет

$$-i q ~\int d^4 z ~\langle 0 \rvert \overline{\psi^-}(y) T[ A_\mu(z) \overline{\psi(z)} \gamma^\mu \psi(z)] \psi^+(x) \lvert 0 \rangle $$

и как ее считать я не понимаю. То есть, вроде мы можем вынести $A_\mu$ из под временного упорядочения, а временное упорядочение электронных операторов даст просто их нормальную форму и поправка примет вид

$$ -i q ~\int d^4 z ~\langle 0 \rvert \overline{\psi^-}(y) A_\mu(z) \overline{\psi^+}(z) \gamma^\mu \psi^-(z) \psi^+(x) \lvert 0 \rangle ~. $$

На этом мысль останавливается.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #760455 писал(а):

То есть, вроде мы можем вынести $A_\mu$ из под временного упорядочения

А это как?

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #760585 писал(а):

А это как?

Ну, так как все что тут стоит под знаком временного упорядочения происходит в один момент.

[Munin]

Это ещё не значит, что оно коммутирует.

[Alex-Yu]

Здесь

EvilPhysicist в сообщении #760455 писал(а):

Если да, то для КЭД $L_\text{int}=q A_\mu \bar \psi \gamma^\mu \psi$ и матрицу расеяния можно разложить в ряд

$$ S=1 +iq \int d^4 x ~ T[ A_\mu \bar \psi \gamma^\mu \psi] -\cfrac{q^2}{2!} \int d^4 x ~ d^4 y ~ T [A_\mu(x) \bar \psi(x) \gamma^\mu \psi(x)] T[ A_\nu(y) \psi(y) \gamma^\nu \psi(y)] ~. $$

неправильно. Правильно будет так:

$$ S=1 +iq \int d^4 x ~ T[ A_\mu \bar \psi \gamma^\mu \psi] -\cfrac{q^2}{2!} \int d^4 x ~ d^4 y ~ T [A_\mu(x) \bar \psi(x) \gamma^\mu \psi(x) A_\nu(y) \psi(y) \gamma^\nu \psi(y)] ~. $$

Т-оператор стоит ПЕРЕД ВСЕЙ экспонентой.

Далее $A$-операторы коммутируют с $\psi$-операторами. Поэтому можно Т-упорядочение сделать ПО ОТДЕЛЬНОСТИ для $A$-операторов и $\psi$-операторов. Ну а дальше теорема Вика или просто тупо коммутируем операторы пока оператор рождения не подействует на вакуум слева или оператор уничтожения на вакуум справа. Впрочем, сначала надо будет еще образовать матричные элементы от $S$-матрицы. Для самой $S$-матрицы диаграммных представлений нет, есть для ее матричных элементов.

[EvilPhysicist]

Alex-Yu в сообщении #760667 писал(а):

Ну а дальше теорема Вика

Поправьте, если ошибусь. Теорема Вика: T-упорядоченное произведение это нормально упорядоченное произведение плюс все нормально упорядоченные произведения со спариваниями.

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #760714 писал(а):

Поправьте, если ошибусь. Теорема Вика: T-упорядоченное произведение это нормально упорядоченное произведение плюс все нормально упорядоченные произведения со спариваниями.

Да вроде так. Не проще ли учебник (любой) посмотреть?

Вообще тут совсем напрямую по т.Вика не получится. Потому, что у Вас будут еще операторы вне Т-произведения (из "обкладок", Вы же их из ваккуума делать будете). Вообще ТВ и диаграмная техника получается несколько проще для функций Грина, а не для $S$-матрицы. В $S$-матрице внешние "хвосты" приходится отдельно рассматривать. В принципе существуют так называемые формулы приведения, позволяющие из функций Грина делать $S$-матрицу. Это все восходит к идее Швингера: если иметь $\langle 0 | S | 0 \rangle$ но при наличии внешнего источника (классического), то все остальное можно востановить. $\langle 0 | S |\rangle 0 $ считается-то сразу по записанным формулам (правда, здесь без источника), надо лишь помнить, что $| 0 \rangle = | 0 \rangle_A | 0 \rangle_{\psi}$. Индексы обозначают по отношению к каким операторам вакуум.

Точнее говоря, и для S-матрицы тоже все в итоге сводится к т.Вика. Но два раза две разные теоремы Вика. Они вполне аналогичны, просто одна для Т-произведений, а другая -- просто для произведений. После того, как будет применена т.Вика для Т-произведений, нужно будет брать матричные элементы от нормальных произведений (их будет много). Тоже теорема Вика, но бОльшая часть слагаемых будет равна нулю: спаривание от нормально упорядоченных операторов нулевое. Так что останутся только спаривания операторов из "обкладок" с операторами из нормального произведения. Ну и спаривания операторов из "обкладок" друг с другом. В конечном итоге из чертовой прорвы слагаемых останенется довольно немного слагаемых: только те, где спариваются ВСЕ операторы. Если хоть что-то осталось и после второго этапа неспаренным, то такое слагаемое не дает вклада: там в качестве множителя есть нормальное произведение, а вакуммное среднее от любого нормально упорядоченного оператора равно нулю.

[EvilPhysicist]

У меня получается, что поправка первого порядка

$$ iq \langle y \rvert \int d^4 z T\left[ A_\mu(z) \overline{psi}(z) \gamma^\mu \psi(z) \right] \lvert x \rangle $$

всегда равна нулю. Получается из-за того, что $A_\mu$ коммутирует со всеми $psi$ и $A^+$ всегда аннигилирует $\langle 0 \rvert$, а $A^-$ -- $\lvert 0 \rangle$. Это верно?

[espe]

верно

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #761295 писал(а):

У меня получается, что поправка первого порядка

$$ iq \langle y \rvert \int d^4 z T\left[ A_\mu(z) \overline{psi}(z) \gamma^\mu \psi(z) \right] \lvert x \rangle $$

всегда равна нулю. Получается из-за того, что $A_\mu$ коммутирует со всеми $psi$ и $A^+$ всегда аннигилирует $\langle 0 \rvert$, а $A^-$ -- $\lvert 0 \rangle$. Это верно?

Нет. Только если в начальном и конечном состоянии нет фотонов. Или число этих фотонов отличается не на единицу.

Правда, если фотоны и электроны на массовой поверхности, то нуль получится за счет интегрирования. Закон сохранения 4-импульса запрещает излучение/поглощение реального (но не виртуального) фотона одним электроном.

Это просто. Например, пусть в начальном состоянии один фотон, а в конечном -- нуль фотонов. $A=A^+ + A^-$. Начальное состояние $| in \rangle = A^+|0\rangle$. Тогда $\langle 0 | A | in \rangle \ne 0$. $A^+$ из начального состояния в лучшем виде спаривается с $A^-$ из лагранжиана. И получается не нуль.

[espe]

Alex-Yu в сообщении #761468 писал(а):

Нет. Только если в начальном и конечном состоянии нет фотонов.

В начальном и конечном состояниях фотонов нет. См. здесь

EvilPhysicist в сообщении #760455 писал(а):

Первая поправка к нему будет

$$-i q ~\int d^4 z ~\langle 0 \rvert \overline{\psi^-}(y) T[ A_\mu(z) \overline{\psi(z)} \gamma^\mu \psi(z)] \psi^+(x) \lvert 0 \rangle $$

и как ее считать я не понимаю.

[EvilPhysicist]

Не совсем в тему, но что-то никак не соображу, почему когда пишется операторы рождения/уничтожения для 3-импульса к ним приписывается $1/\sqrt{2\pi}$, точнее говоря, почему

$$ \phi^{\pm}(\vec k)= \int dk^0 ~ \theta(\pm k^0) \delta(k^\mu k_\mu -m^2) \sqrt{2k^0} \phi^{\pm}(k) ~? $$

Еще очень интересно следующее. У Боголюбова и Ширкова(4 издание 84 года) при квантовании тензорных полей фактор $\sqrt{2k^0}$ есть

Боголюбов в параграфе 12.1 в формуле (3) писал(а):

$$ A^{\pm}_n(x)=\cfrac{1}{(2\pi)^\frac32} \int \cfrac{d\vec k}{\sqrt{2k^0}} ~ e^{\pm i kx} e^m_n(\vec k) a^{\pm}_m(\vec k) $$

а при квантовании спинорных -- нет

Тот же Боголюбов в параграфе 13 в написал писал(а):

В результате перехода к инмульсному представлению по формулам

$$ \psi^{\pm}=\cfrac{1}{(2\pi)^\frac32} \int d \vec k ~ e^{\pm i kx} \sum a^{\pm}_\nu (\vec k) v^{\nu, \pm} (\vec k) $$

соответсвующие интегралы движения примут вид:
4-вектр энергии-импульса

$$ P^n=\int d\vec k ~ k^n \sum\limits_\nu ({a^*}^+_\nu(\vec k) a^-_\nu (\vec k) - a^+_\nu(\vec k) {a^*}^-_\nu (\vec k) $$

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #761529 писал(а):

Не совсем в тему, но что-то никак не соображу, почему когда пишется операторы рождения/уничтожения для 3-импульса к ним приписывается $1/\sqrt{2\pi}$,

Это просто нормировка, определение. При желании можно этот множитель включить в $\phi^{\pm}({\bf k})\,$, но тогда коммутатор будет не просто дельта-функция, а дельта-функция с множителем. Конечно, удобнее чтобы была просто дельта-функция. Только в этом случае получаются "нормальные" операторы рождения/уничтожения. Иначе, в общем, тоже рождения/уничтожения, но "кривые" операторы рождения/уничтожения. Не такие как просто для осциллятора.

С фермионами также. Разберитесь как получаются коммутационные соотношения. Они именно получаются, выводятся, а не "с потолка берутся". Постулировать можно комутационные соотношения для канонических импульсов и координат (канонические координаты здесь -- это поля и есть). Вот отсюда и выводятся коммутационные соотношения для частотных частей поля. А более общий подход --- это из соответствия между коммутатором и классической скобкой Пуассона, что Дирак обнаружил довольно давно.

-- Вс сен 08, 2013 13:33:46 --

espe в сообщении #761516 писал(а):

В начальном и конечном состояниях фотонов нет. См. здесь

Было сказано "всегда". Не всегда. Что я и отметил.