Вероятностная мера для \mathbb N

[Joker_vD]

Есть эксперимент, его пространство элементарных событий $\Omega = \mathbb N$, все элементарные исходы равновозможны. Вводим $\sigma$-алгебру для пространства событий: $\mathfrak F = 2^\mathbb N$. Теперь надо ввести вероятностную меру, и вот тут ничего не выходит:

1. Вероятность элементарного исхода равна нулю: если $P(1) = \frac{1}{p} \ne 0$, то $P\{1,2,\,\dots\,,\lfloor p + 1\rfloor\} > 1$. Значит, $\forall k \in \mathbb N \quad P(k) = 0$. Поэтому и вероятность любого конечного множества равна нулю.
2. Но тогда никакая мера не будет непрерывной: $A_n = [1,n],\quad \lim\limits_{n\to\infty} A_n = \mathbb N$; но $P\left(\lim\limits_{n\to\infty} A_n\right) = P(\mathbb N) = 1$, а $\lim\limits_{n\to\infty}P(A_n) = \lim\limits_{n\to\infty} 0 = 0$.

Вопрос: что делать?

[VPro]

Что делать? Отказаться от построения заведомо несуществующего объекта. Вы можете представить себе случайную величину, равномерно распределенную на всей вещественной оси? То же самое.

[Joker_vD]

И все же я не понимаю, почему этот объект "заведомо не существует". Выходит, фраза "наугад взятое натуральное число будет простым с вероятностью такой-то" — бессмысленна?

[Dan B-Yallay]

Смотрите: в силу равновозможности исходов, у вас вероятность выбрать наугад число 1 равна вероятности выбрать любое другое число. Поэтому получается

$$P(1)=P(2)=P(3)=...=P(n)=...$$

При этом должно выполняться

$$\sum_{n=1}^{\infty}P(n) =1$$

Вопрос: $P(1)=?$

[ИСН]

Joker_vD, а фраза "наугад взятое натуральное число будет меньше 1000000 с вероятностью такой-то" Вам что, нравится?

[Joker_vD]

Dan B-Yallay
Я уже это написал и показал эту же самую проблему в самом первом посте: вероятность не может быть не ноль, но если она ноль, это вообще не вероятность.

ИСН
Пока не очень, потому что наделить ее смыслом у меня не выходит. Но в чем глубинные причины того, что этот случай (с натуральными числами) хуже случая с вещественными, с отрезком $[0,1]$?

[VPro]

Joker_vD в сообщении #420335 писал(а):

И все же я не понимаю, почему этот объект "заведомо не существует". Выходит, фраза "наугад взятое натуральное число будет простым с вероятностью такой-то" — бессмысленна?

Вообще говоря, да. Но здесь уже не так все безнадежно. Мы можем пойти по проторенному пути и ввести вероятность оказаться простым у числа, меньшего $N$: $P_N=\frac{\pi(N)}{N}$. Это отношение имеет известную асимптотику $\frac{\pi(N)}{N}\sim\frac{1}{\ln(N)}$.
Если теперь мы под вероятностью, наугад взятого натурального числа оказаться простым, будем понимать $P_{\infty}=\lim_{N\to\infty}P_N$, то эта величина уже строго определена и равна 0.

[MaximVD]

Joker_vD
Возможно, следующее рассуждение чуть прояснит ситуацию, почему случай натуральных чисел хуже, чем отрезок $[0,1]$:

Возьмём какое-нибудь дискретное (т.е. между любыми двумя точками расстояние положительно) подмножество вещественной оси, обозначим его $\Omega$ (к слову сказать, поскольку вещественная прямая со стондартной метрикой сепарабельна, то $\Omega$ не более чем счётно). Определим $\sigma$-алгебру подмножеств $\Omega$ как множество всех подмножеств, и на ней каким-то образом задим вероятность $P$. Возьмём и продолжим эту вероятность на все борелевские подмножества $\mathbb{R}$ - определим вероятность какого-нибудь подмножества в $\mathbb{R}$, как вероятность пересечения этого множества с $\Omega$. Понятно, что продолжение тоже останется вероятностью.
Теперь рассмотрим функцию распределения этой вероятности, т.е. функцию $F(x) = P( (-\infty; x) )$. Функцию $F$, по теореме Лебега, можно разложить на 3 составляющие $F = \alpha_1 F_1 + \alpha_2 F_2 + \alpha_3 F_3$, где $\alpha_i \ge 0, \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 1$, функция $F_1$ абсолютно непрерывна, $F_2$ дискретна, а $F_3$ сингулярна (т.е. непрерывна и производная равна 0 почти всюду). Воспользовавшись дискретностью $\Omega$, как подмножества $\mathbb{R}$, совсем просто установить, что абсолютно непрерывная составляющая функции распределения равна нулю. Ваше требования на то, что все элементарные исходы равновозможны, обнуляет и дискретную составляющую (если, конечно, множество $\Omega$ бесконечно). В итоге $F = F_3$, т.е. функция распределения такой вероятностной меры обязана быть сингулярной.

Если рассматривать вероятность, "равномерно распределённую на отрезке $[0,1]$", то её функция распределения будет абсолютно непрерывна, чего в дискретном случае никак быть не может. "Виновата" в этом, отчасти, каноническая топология вещественной оси.

[mihailm]

ИСН в сообщении #420344 писал(а):

Joker_vD, а фраза "наугад взятое натуральное число будет меньше 1000000 с вероятностью такой-то" Вам что, нравится?

(Оффтоп)

На практике это очень высокая вероятность

[Gortaur]

mihailm

(Оффтоп)

Вы слишком мелко мыслите на практике (см. большой ремонт).

Joker_vD
Знаете, почему нельзя ввести вероятностную меру на множестве $([0,1],2^{[0,1]})$? Точно так же, Вы и сами показали, что нельзя ввести меру на натуральных числах, равную на каждом точечном множестве. И сами же показали, что нельзя использовать слово "наугад" имея ввиду равномерное распределение. То, что нельзя ввести равномерное распределение на $\mathbb{R}$ Вас, значит, не смущает?

-- Пн мар 07, 2011 22:23:46 --

Тут дело не в простоте множества, а его ограниченности.

[Sonic86]

Joker_vD
Можете еще книжку Секей Парадоксы в теории вероятностей посмотреть, там тоже описана ситуация с равномерным распределением на $\mathbb{N}$.

[vicvolf]

VPro в сообщении #420372 писал(а):

Joker_vD в сообщении #420335 писал(а):

И все же я не понимаю, почему этот объект "заведомо не существует". Выходит, фраза "наугад взятое натуральное число будет простым с вероятностью такой-то" — бессмысленна?

Вообще говоря, да. Но здесь уже не так все безнадежно. Мы можем пойти по проторенному пути и ввести вероятность оказаться простым у числа, меньшего $N$: $P_N=\frac{\pi(N)}{N}$.

Да верно! На ограниченном интервале можно, но это не вероятность натурального числа $N$ быть простым. Для последнего надо взять ограниченный интервал $N, N+b$, где $N$ - большое, а $N \gg b$. Тогда на этом интервале распределение будет равновероятным и вероятность натурального числа $N$ быть простым будет равна - $\frac{\pi(N+b)-\pi(N)}{b}$

Цитата:

Это отношение имеет известную асимптотику $\frac{\pi(N)}{N}\sim\frac{1}{\ln(N)}$.
Если теперь мы под вероятностью, наугад взятого натурального числа оказаться простым, будем понимать $P_{\infty}=\lim_{N\to\infty}P_N$, то эта величина уже строго определена и равна 0.

Асимптотическая плотность последовательности простых чисел не может являться вероятностью, так как для нее не выполняется свойство сигма аддитивности вероятностной меры.

[Deggial]

vicvolf, предупреждение за некропостинг и за вот это враньё:

vicvolf в сообщении #760488 писал(а):

На ограниченном интервале можно, но это не вероятность натурального числа $N$ быть простым. Для последнего надо взять ограниченный интервал $N, N+b$, где $N$ - большое, а $N \gg b$. Тогда на этом интервале распределение будет равновероятным и вероятность натурального числа $N$ быть простым будет равна - $\frac{\pi(N+b)-\pi(N)}{b}$

С чего это Вы решили, что предложенная VPro вероятность - это не вероятность? Это просто равномерное распределение на $[1;N]$, из которого усреднением и предельным переходом при $N\to\infty$ получают вероятности событий на $\mathbb{N}$. Кроме того, ясно, что если в приведенной Вами формуле заменить $N$ на $1$, а $b$ на $N-1$, то получиться определение VPro, потому вводить какие-то искусственные ограничения $N \gg b$ нет никакого смысла.