Доказательство арифметических свойств предела

[IvanZol]

Подскажите, как доказывается, что предел разности двух последовательностей равен разности пределов этих последовательностей, или, где можно это док-во посмотреть.

[provincialka]

В любом пособии по матану. А вам зачем? Если вы учитесь, литературу вам предложили?
Вообще-то доказывается по определению, т.е. подбирается нужное $\delta$ по $\varepsilon$

[gris]

Теорема звучит так: если две последовательности имеют конечные пределы, то...
Доказывается обычно через бесконечно малые последовательности. Прочитать можно в любом учебнике по матану.
И по определению, действительно, легко доказать.

[IvanZol]

В книгах, которые у меня есть, там только док-во для разности, если можете подскажите книгу

[gris]

Фихтенгольц, Кудрявцев, Зорич — три учебника по матанализу на любой вкус.
Никольский. Там через $N,\varepsilon$ как раз.

[IvanZol]

У Фихтенгольца и Никольского только для суммы, скачиваю Зорич

-- 04.09.2013, 17:54 --

да, извиняюсь нашёл, спасибо

[ewert]

IvanZol в сообщении #760476 писал(а):

У Фихтенгольца и Никольского только для суммы,

В нормальном режиме для именно разности и не должно быть. Должно быть для суммы и для умножения на константу, после чего для разности следует автоматом.

[provincialka]

Какая разница между суммой и разностью? Вся схема доказательства та же.

[ewert]

Эстетическая разница. Именно потому, что между суммой и разностью разницы никакой -- дублирование и неприлично. А вот свойство относительно умножения на константу -- принципиально (тем более, что ни из чего другого банально не следует). После чего говорить специально о разности уже не приходится, это уже тупо следствие.

[provincialka]

Я подозреваю, что задание про разность дали автору для самостоятельного решения, в качестве проверки усвоения.

[JMH]

Так, просто вдогон: утверждение следует из того факта, что $(\mathbb{R},+)$ является топологической группой.

[provincialka]

JMH в сообщении #760565 писал(а):

Так, просто вдогон: утверждение следует из того факта, что $(\mathbb{R},+)$ является топологической группой.

Дальше - из анекдота: "Папа, это ты сейчас с кем разговаривал?"

[JMH]

provincialka в сообщении #760587 писал(а):

"Папа, это ты сейчас с кем разговаривал?"

Ценю Вашу иронию Просто мне самому всегда интересно, откуда "растут ноги" у тех или иных фактов; вот и здесь - я намекнул, а что с этим намёком делать - пусть решает TC...

[provincialka]

Нет, не ирония, юмор. Просто возник контраст между уровнем вопроса и уровнем ответа. Но, кто знает? Может ТС-у и пригодится.

[gris]

А как доказывать, что это топологическая группа? Всё равно надо доказывать непрерывность сложения, а это те же самые рассуждения. Или ещё какой более первичный способ?