Получить куб

[Ktina]

Доказать, что для каждого натурального $n\geqslant 5$ можно расставить между числами

$$1,~ 2,~ 3,~\dots ~n $$

знаки арифметических действий и скобки так, чтобы получилось $n^3$.

[gris]

$(1+2\cdot3\cdot4)\cdot5=25\cdot 5$

$(-1+2+(3\cdot4)\cdot5)\cdot6=36\cdot 6$

$(1+2\cdot(3-4+5)\cdot6)\cdot 7=49\cdot 7$

Нельзя ли предыдущими числами представить квадрат?

[Ktina]

gris в сообщении #759403 писал(а):

Нельзя ли предыдущими числами представить квадрат?

Можно.

-- 31.08.2013, 22:48 --

Причём существует способ такого представления, годящийся для всех достаточно больших $n$.

[gris]

Тогда пойдём дальше. Для достаточно больших $n$ можно записать конец представления:

$A\cdot (-(n-3)+(n-2)+(n-1))\cdot n=A\cdot n\cdot n$

Осталось из первых $(n-4)$ смастерить $n$. Можно ли?

$(-1+2+3+4)\cdot (-5+6+7)\cdot 8=8^3$

[Ktina]

gris в сообщении #759410 писал(а):

Тогда пойдём дальше. Для достаточно больших $n$ можно записать конец представления:

$A\cdot (-(n-3)+(n-2)+(n-1))\cdot n=A\cdot n\cdot n$

Осталось из первых $(n-4)$ смастерить $n$. Можно ли?

$(-1+2+3+4)\cdot (-5+6+7)\cdot 8=8^3$

А можно, я сразу решение напишу? Основную-то идею Вы практически озвучили.

-- 31.08.2013, 23:01 --

Только вот минусов перед единичкой не нужно. Но это мелочи жизни.

-- 31.08.2013, 23:14 --

(Ищите ошибки)

Лемма 1:
Для каждого натурального $m\geqslant 4$ можно расставить между числами

$$1,~ 2,~ 3,~\dots ~m $$

знаки арифметических действий и скобки так, чтобы получилось 10.

Доказательство леммы 1:
Если $m$ кратно 4, то из первых четырёх чисел получаем

$$1+2+3+4=10$$

, а остальные четвёрки (если они есть) "обнуляем" методом

$$+k-(k+1)-(k+2)+(k+3)=0$$

Если $m$ даёт остаток 1 при делении на 4, то из первых пяти чисел получаем

$$1+2+3\cdot 4-5=10$$

, а остальные четвёрки (если они есть) "обнуляем" тем же методом.
Если $m$ даёт остаток 2 при делении на 4, то из первых шести чисел получаем

$$1\cdot 2+3+4-5+6=10$$

, а остальные четвёрки (если они есть) "обнуляем" тем же методом.
И наконец, если $m$ даёт остаток 3 при делении на 4, то из первых семи чисел получаем

$$1+2+3-4-5+6+7=10$$

, а остальные четвёрки (если они есть) "обнуляем" тем же методом.

Итак, лемма 1 доказана.

Далее, если наше $n\geqslant 10$, то из первых $n-6$ чисел получаем 10 (по лемме 1 это возможно ), из последующих пяти получаем

$$(n-5)+(n-4)+(n-3)+(n-2)\cdot (n-1)=n^2-10$$

И делаем

$$(10+(n^2-10))\cdot n=n^3$$

Итак, мы доказали наше утверждение для всех натуральных $n$, больших 9.
А для остальных просто приведём примеры:

$$((1+2)\cdot 3\cdot 4+5\cdot 6+7+8)\cdot 9=9^3$$

$$(1-2+3+4\cdot 5+6\cdot 7)\cdot 8=8^3$$

$$((1+2\cdot 3+4)\cdot 5-6)\cdot 7=7^3$$

$$((1+2)\cdot (3+4+5))\cdot 6=6^3$$

$$(1+2\cdot 3\cdot 4)\cdot 5=5^3$$