Центр группы SU(n)

[MacSinus]

Читаю Рубакова, введение в классическую теорию полей. И тут есть одна задачка, которая ввела меня в тупик. Задачка, вообще говоря по математике, но т.к. я физик, плюс из книжки физической взято, то выкладываю ее в этом разделе. Итак условие:

Описать центр группы $\mathrm{SU}(n)$ и показать, что он изоморфен $\mathrm{Z}_n$.

Связанные определения и обозначения стандартны, но на всякий случай:
Центр группы

(Оффтоп)

Центром группы $\mathrm{G}$ называют множество ее элементов $w$, таких что $w$ коммутирует с любым ее элементом $g\in \mathrm{G}$:

$$wg=gw$$

$\mathrm{SU}(n)$

(Оффтоп)

$\mathrm{SU}(n)$, специальная унитарная группа -- группа унитарных матриц $n\times n$, т.е. матриц таких, что ее эрмитово сопряжение равно обратной:

$$U^{\dagger} = U^{-1}$$

$\mathrm{Z}_n$

(Оффтоп)

$\mathrm{Z}_n$ -- группа целых чисел по модулю $n$, где групповое умножение есть сложение чисел по модулю $n$

Откуда подойти я даже не знаю. Хотел подойти с той стороны, что $\mathrm{SU}(n)$ -- комплексное расширение $\mathrm{SO}(n)$, которая есть группа вращений в $n$-мерном пространстве. Но построить общий вид $\mathrm{SU}(n)$ по аналогии мне не удалось. Вроде $\mathrm{SO}(n)$ -- некоммутативна в случае размерности больше двух, тогда для нее центром будет одна лишь единичная матрица. Но как это показать аккуратно математически я не приложу ума. Да и потом, если центр - это лишь единичная матрица, то очевидно, что он не изоморфен $\mathrm{Z}_n$.

И подскажите еще одно, для группы $\mathrm{SO}(n)$ можно любую матрицу представить как комбинацию поворотов в плоскостях, заменяя соответствующие элементы на подобие:

$$ \begin{pmatrix} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \cos \alpha & \ldots & -\sin \alpha & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \sin \alpha & \ldots & \cos \alpha & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end{pmatrix} $$

Тогда итоговая матрица поворота, т.е. элемент $\mathrm{SO}(n)$ будет произведением таких матриц. Можно ли как-то подобным образом представить элемент $\mathrm{SU}(n)$?

[fizeg]

Среди матриц вида $\alpha I$, где $\alpha$ некоторое комплексное число какие являются унитарными с определителем равным единице?

По второму вопросу, знаете такую штуку как экспоненциальное отображение алгебры Ли в группу Ли? Т.е. у нас есть алгебра генераторов $T_a$ (в нашем случае это $\mathrm{su}(n)$) Любой элемент связной компактной группы (коей $\mathrm{SU}(n)$ является) представится в виде
$g=\exp\left(i\sum\limits_a\alpha_a T_a\right)$
При расцеплении этой экспоненты отдельных $T_a$ могут вылезти дополнительно только экспоненты их коммутаторов. Но коммутаторы генераторов дадут только какую-то комбинацию генераторов, так что можно представить в виде
$g=\prod\limits_a\exp(i\beta_a T_a)$
Представление ортогональных матриц в виде произведения поворотов это частный случай

[MacSinus]

fizeg в сообщении #758215 писал(а):

Среди матриц вида $\alpha I$, где $\alpha$ некоторое комплексное число какие являются унитарными с определителем равным единице?

Спасибо, понял. Единственно, как показать, что только матрицы такого вида подчиняются коммутативному соотношению? (Понимаю, что это мой пробел из аналита) И тогда ж получается, что центр изоморфен $\mathrm{SU}(1)$, а не $\mathrm{Z}_n$, это просто опечатка в книге или я чего-то недопонимаю?

fizeg в сообщении #758215 писал(а):

По второму вопросу, знаете такую штуку как экспоненциальное отображение алгебры Ли в группу Ли?

А по этому вопросу - учу последовательно материал, так что пока не знаю. Но в общем спасибо, как доберусь, буду знать, где копать.

[Munin]

MacSinus в сообщении #758201 писал(а):

$\mathrm{SU}(n)$, специальная унитарная группа -- группа унитарных матриц $n\times n$, т.е. матриц таких, что ее эрмитово сопряжение равно обратной:

$$U^{\dagger} = U^{-1}$$

Не путайте. Вы написали определение $\mathrm{U}(n)$, унитарной группы. А специальная унитарная группа отличается от унитарной тем, что ещё наложено условие $\det U=1.$

-- 28.08.2013 02:08:54 --

MacSinus в сообщении #758201 писал(а):

И подскажите еще одно, для группы $\mathrm{SO}(n)$ можно любую матрицу представить как комбинацию поворотов в плоскостях, заменяя соответствующие элементы на подобие:

$$ \begin{pmatrix} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \cos \alpha & \ldots & -\sin \alpha & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \sin \alpha & \ldots & \cos \alpha & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end{pmatrix} $$

Тогда итоговая матрица поворота, т.е. элемент $\mathrm{SO}(n)$ будет произведением таких матриц. Можно ли как-то подобным образом представить элемент $\mathrm{SU}(n)$?

В общем, это будут такие же матрицы, только в соответствующей плоскости будут величины

$$ \begin{pmatrix} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \sigma_{i(11)} & \ldots & \sigma_{i(12)} & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \sigma_{i(21)} & \ldots & \sigma_{i(22)} & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end{pmatrix} $$

некоторой матрицы из группы $\mathrm{SU}(2)$ - то есть, можно для каждой плоскости взять три матрицы Паули, и соответственно, три разновидности поворотов:

$$ \begin{pmatrix} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \cos \alpha & \ldots & -\sin \alpha & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \sin \alpha & \ldots & \cos \alpha & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \cos \alpha & \ldots & i\sin \alpha & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & i\sin \alpha & \ldots & \cos \alpha & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & e^{i\alpha} & \ldots & 0 & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & 0 & \ldots & e^{-i\alpha} & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end{pmatrix} $$

И наконец, из полученных $n$ поворотов третьего вида (диагональных), надо один убрать, потому что он будет выражаться через другие (а оставшиеся можно ортогонализовать). Оставшиеся $n^2-1$ всевозможных поворотов дадут размерность (и число генераторов) группы $\mathrm{SU}(n).$ Например, для $\mathrm{SU}(3)$ это будут матрицы Гелл-Манна.

[espe]

MacSinus в сообщении #758201 писал(а):

Описать центр группы $\mathrm{SU}(n)$ и показать, что он изоморфен $\mathrm{Z}_n$.

Матрицы, коммутирующие со всеми, должны быть пропорциональны единичной матрице $U=aE$. Из условия $\det U=1$, следует, что $a^n=1$. Существует $n$ таких $a$ и, соответственно, $n$ матриц, которые образуют $Z_n$.

[MacSinus]

Munin в сообщении #758261 писал(а):

Не путайте. Вы написали определение $\mathrm{U}(n)$, унитарной группы. А специальная унитарная группа отличается от унитарной тем, что ещё наложено условие $\det U=1.$

Да, я помню, просто забыл написать.

espe в сообщении #758294 писал(а):

Матрицы, коммутирующие со всеми, должны быть пропорциональны единичной матрице $U=aE$. Из условия $\det U=1$, следует, что $a^n=1$. Существует $n$ таких $a$ и, соответственно, $n$ матриц, которые образуют $Z_n$.

Спасибо, что-то я проглючил с этим условием. Теперь все ясно.

[мат-ламер]

espe в сообщении #758294 писал(а):

Матрицы, коммутирующие со всеми, должны быть пропорциональны единичной матрице $U=aE$.

А почему должны? (Обратное утверждение очевидно, согласен.) Т.е. слышал про теорему, что матрицы, коммут. со всеми имеют такой вид, но у ведь у нас не все матрицы.

[fizeg]

мат-ламер
Ну если доказать, что если матрицы коммутируют и диагонализуемы (как унитарные матрицы например), их можно одновременно диагонализовать, то останется только показать, что только матрицы, пропорциональные единичной, диагонализуются одновременно со всякой унитарной матрицей.