непрерывный на подпространстве Соболева функционал

[dikiy]

Есть функционал $f$, который непрерывен на пространстве $W_2^1[0,1]$. Есть элемент $x_0\in W_2^1[0,1]$. Дана последовательность ортогональных проекторов $P_n$ пространства $L_2[0,1]$ (ну, просто выберем полный ортогональный базис на $L_2[0,1]$), в которое вложено пространство $W_2^1[0,1]$. Очевидно, что все элементы $x_n=P_n x_0\in W_2^1[0,1]$.

Пытаюсь показать, что в этом случае можно сделать следующее:

$$\lim f(P_n x_0) = f(\lim P_n x_0),$$

но не могу зацепиться.

Собственно все сводится к тому, чтобы показать, что если $P_n x_0$ сходится к $x_0$ в $L_2$ (а это имеет место из-за ортогональности $P_n$ и полноты базиса), то он сходится и в $W_2^1$.

Подскажите пожалуйста, верна ли моя догадка, и если да, то как ее доказать?

[sup]

dikiy в сообщении #758154 писал(а):

Очевидно, что все элементы $x_n=P_n x_0\in W_2^1[0,1]$.

Совсем не очевидно. Более того, в общем случае не верно. Пусть элементы базиса не принадлежат $W_2^1[0,1]$. Тогда и проекция элемента может не принадлежать.

[dikiy]

Цитата:

Совсем не очевидно. Более того, в общем случае не верно. Пусть элементы базиса не принадлежат $W_2^1[0,1]$. Тогда и проекция элемента может не принадлежать.

да, действительно. Но давайте рассматривать случай, когда все элементы базиса из $W_2^1$. Например базис из тригонометрических функций, или же базис из полиномов Лежандра.

[Oleg Zubelevich]

dikiy в сообщении #758154 писал(а):

Дана последовательность ортогональных проекторов $P_n$ пространства $L_2[0,1]$ (ну, просто выберем полный ортогональный базис на $L_2[0,1]$)

все проекторы проектируют все пространство на однео и тоже одномерное подпространство устроит? Научитесь ставить вопрос

[dikiy]

Oleg Zubelevich в сообщении #758182 писал(а):

dikiy в сообщении #758154 писал(а):

Дана последовательность ортогональных проекторов $P_n$ пространства $L_2[0,1]$ (ну, просто выберем полный ортогональный базис на $L_2[0,1]$)

все проекторы проектируют все пространство на однео и тоже одномерное подпространство устроит? Научитесь ставить вопрос

нет. Я же указал, что проекторы индуцируются с помощью полного ортогонального базиса в $L_2[0,1]$

[Oleg Zubelevich]

dikiy в сообщении #758162 писал(а):

Например базис из тригонометрических функций,

вот вот. разложите в ряд Фурье функцию $x$ и посмотрите будет он сходиться в $H^1$