Сумма случайных величин распределенных как смесь нормальных

[zrz]

Добрый день!
Возможно кто-нибудь поможет найти подход к решению следующей проблемы.
Даны одинаково распределенные независимые случайные величины, распределенные как смесь нормальных (для простоты двух и имеющих одинаковое мат. ожидание). Цель - понять как распределена их сумма (n слагаемых), или хотя бы получить какую-то оценку (с обеих сторон) для квантилей этого распределения (т.к. применение свертки в лоб ни к чему красивому не приводит).

Очевидно распределение неустойчиво относительно суммирования, т.к. по цпт в пределе стремится к нормальному с понятными параметрами.

[ИСН]

Очевидно же, что сумма смесей нормальных - это опять смесь нормальных, только более сложная.

[--mS--]

Да, зачем же тут свёртки, когда тут просто бином Ньютона. Ну, надеюсь, меня на первый раз не забанят :)
Если матожидание у всех $a$, дисперсия у одной компоненты смеси $\sigma^2$, у другой - $\delta^2$, и первая компонента берётся с весом $p$, т.е. функция распределения одного слагаемого есть

$$F(x)=p \Phi_{a, \sigma^2}(x)+(1-p)\Phi_{a, \delta^2}(x),$$

а плотность

$$f(x)=p \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}+(1-p)\dfrac{1}{\delta\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-a)^2}{2\delta^2}} ,$$

то у суммы $n$ независимых слагаемых с таким распределением функция распределения равна

$$F_n(x) = \sum_{k=0}^n C_n^k p^k(1-p)^{n-k} \Phi_{na, k\sigma^2+(n-k)\delta^2}(x),$$

и плотность равна

$$f_n(x) = \sum_{k=0}^n C_n^k p^k(1-p)^{n-k} \dfrac{1}{\sqrt{k\sigma^2+(n-k)\delta^2}\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x-na)^2}{2(k\sigma^2+(n-k)\delta^2)}\right).$$

[zrz]

Уважаемые Форумчане, спасибо вам большое за проявленный интерес и подробный ответ.
Но мне бы хотелось прийти к пониманию этого результата (как он получен?). Пока у меня мысль только одна - использовать свойство характеристических функций суммы независимых С.В., т.е. то что их характеристическая функция равна произведению характеристических функций слагаемых. В моем примере характеристические функции слагаемых есть очевидно выпуклая комбинация (с соответствующими весами) характеристических функций нормальных распределений входящих в смесь. И дальше вроде вырисовывается как раз бином. Или как-то еще можно к этому прийти?

[ИСН]

Не уподобляйтесь сороконожке, которая забыла, как ходить. Этот результат не получен - он виден. Смесь - это ведь что такое? Это есть у нас два нормальных распределения ("широкое" и "узкое"), мы кидаем монетку, и если орёл, то берём величину из широкого распределения, а если решка - из узкого. Теперь что такое сумма двух таких величин? А то и есть: сумма двух широких величин, или двух узких, или широкой и узкой, и всё это смешано с соответствующими весами. А что такое каждая из этих сумм? А это сумма нормальных величин, про которую Вы, наверное, знаете всё.

[Евгений Машеров]

Если у нас есть смесь - можно получить моменты смеси. Как взвешенное среднее моментов составляющих (благо матожидания одинаковы - можно сразу центральных, иначе взвешивать начальные, а потом переходить к центральным). Затем от моментов к семиинвариантам, семиинварианты их суммы очевидно получаются, а затем каким-нибудь Эджвортом, или подобрать распределение из стандартных с подходящими моментами.