Вопрос по диагональному методу Кантора

[Someone]

nikvic в сообщении #757329 писал(а):

Наверное, у Вас наготове контрпример?

Нет. Просто есть некоторый стереотип, который в данном случае сработал.
Обычно записи чисел с одним из "опасных" периодов ($(0)$ или $(9)$) исключают, чтобы получить взаимно однозначное соответствие между числами и их записями, а это при использовании записей вида $0{,}c_1c_2c_3\ldots$ означает, что мы рассматриваем либо полуинтервал $(0;1]$, либо полуинтервал $[0;1)$. Но тогда при Вашем методе можно получить число, имеющее недопустимую запись (и, возможно, не входящее в рассматриваемое множество). Если же Вы допускаете записи обоих видов, то требуются специальные разъяснения.

[nikvic]

Someone в сообщении #757394 писал(а):

Но тогда при Вашем методе можно получить число, имеющее недопустимую запись (и, возможно, не входящее в рассматриваемое множество). Если же Вы допускаете записи обоих видов, то требуются специальные разъяснения.

Да. Если цифры двух записей чисел в конкретном разряде отличаются на 5, то сами числа друг к другу не ближе, чем число с четвёркой в том же разряде и нулями в остальных.

[venco]

nikvic в сообщении #757403 писал(а):

Someone в сообщении #757394 писал(а):

Но тогда при Вашем методе можно получить число, имеющее недопустимую запись (и, возможно, не входящее в рассматриваемое множество). Если же Вы допускаете записи обоих видов, то требуются специальные разъяснения.

Да. Если цифры двух записей чисел в конкретном разряде отличаются на 5, то сами числа друг к другу не ближе, чем число с четвёркой в том же разряде и нулями в остальных.

Вы, похоже, не понимаете зачем вообще этот сдвиг нужен. Расстояние совершенно не важно. Важно, чтобы не получилась неправильная запись рационального числа.

[ewert]

Someone в сообщении #757394 писал(а):

Но тогда при Вашем методе можно получить число, имеющее недопустимую запись

Нельзя. Если дубликаты (неважно какие) заранее исключены, то при замене одного разряда каким угодно способом разрешённая запись никак не может перейти в запрещённую. А если не исключены, то с доказательством получается такой бардак, что чего уж это и обсуждать.

[nikvic]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #757408 писал(а):

А если не исключены, то с доказательством получается такой бардак, что чего уж это и обсуждать.

С инженерами бардак зафсегда

[ewert]

(Оффтоп)

nikvic в сообщении #757411 писал(а):

С инженерами бардак зафсегда

А Вы читали этого инженера? Я вот не читал. Но вполне допускаю, что оговорку насчёт дубликатов он предварительно сделал, и тогда его доказательство вполне стерильно. Если же не сделал, то наверняка лишь по рассеянности. В любом случае делать её следовало именно до доказательства, потом пить боржоми уже поздно. Так что текст на скане сам по себе никакого криминала не содержит.

[nikvic]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #757413 писал(а):

Но вполне допускаю, что оговорку насчёт дубликатов он предварительно сделал, и тогда его доказательство вполне стерильно. Если же не сделал, то наверняка лишь по рассеянности. В любом случае делать её следовало именно до доказательства, потом пить боржоми уже поздно. Так что текст на скане сам по себе никакого криминала не содержит.

Я всего лишь сказал (сразу), что Исходное доказательство не полно.
Здесь возможна и рассеянность, и сознательное удаление элемента, которое едва ли будет оценено понято неподготовленным читателем.

[ewert]

(Оффтоп)

nikvic в сообщении #757414 писал(а):

Я всего лишь сказал (сразу), что Исходное доказательство не полно.

И напрасно сказали. Само по себе -- оно вполне полно. Если, конечно, провести предварительную подготовку; но такая подготовка, во-первых, в приличном опчестве обязательна и, во-вторых, заведомо обязана быть вынесена за пределы конкретно этого доказательства.

[nikvic]

ewert в сообщении #757419 писал(а):

nikvic в сообщении #757414 писал(а):

Я всего лишь сказал (сразу), что Исходное доказательство не полно.

И напрасно сказали. Само по себе -- оно вполне полно. Если, конечно, провести предварительную подготовку; но такая подготовка, во-первых, в приличном опчестве обязательна и, во-вторых, заведомо обязана быть вынесена за пределы конкретно этого доказательства.

Легко нашёл книженцию в инете, скачал и посмотрел.
Как и предполагал, никакого упоминания о неоднозначности записи нет.
Книга очень плотная.

[ewert]

nikvic в сообщении #757509 писал(а):

Как и предполагал, никакого упоминания о неоднозначности записи нет.
Книга очень плотная.

А раз плотная (и вообще не на эту тему, там это лишь эпизод) -- какие могут быть претензии к автору? В таком случае доказательство просто безукоризненно.

[bayah]

AlexeyM в сообщении #756707 писал(а):

Xaositect

Вроде дошло, спасибо :)

Блин, а до меня не дошло.
Возник ровно такой же вопрос как у вас и случайно нашел его в вашей формулировке уже заданным)

Почему рассматривая такие последовательности мы с неизбежностью рассматриваем и иррациональные числа тоже? Я, например, хочу рассматривать только рациональные, и вот я рассматриваю все числа вида $0.a_1a_2a_3...a_n(b)$, где $(b)$ - период дроби (мы же рассматриваем только рациональные числа). Дальше строим число по диагональному методу, которое должно быть таким же рациональным. Все.

Тут мне кажется какая-то ошибка, которая заключается в том, что доказательство счетности рационального множества строилось путем установления соответствия с числами натурального ряда, а доказательство несчетности множества действительных чисел, на приведении примера числа, которое не входит в список всех действительных чисел. Но по-моему, так как чисел бесконечно, то логично, что всегда можно построить новое.

-- 01.11.2015, 16:03 --

И еще, например тут (http://www.ccas.ru/alexzen/papers/vf1/vf-rus.html) некий Зенкин срывает покровы.)
Я не в силах оценить верно или нет его рассуждение.

[provincialka]

bayah в сообщении #1069026 писал(а):

Дальше строим число по диагональному методу, которое должно быть таким же рациональным.

Не получится. Откуда вы знаете, что сможете подобрать цифры на диагонали так, чтобы они периодически повторялись? Например, вы уже построили дробь $0,123123123$, а на десятом месте в десятом числе стоит как раз $1$. И выбрать ее вы не можете.

[sergei1961]

Странно, что ДАН такую статью опубликовал.

[provincialka]

Да уж, странная статья... Например, такое:

Цитата:

Как известно, Г.Кантор доказал свою теорему в 80-х г.г. прошлого столетия, т.е. за полвека до появления мета-математики. Следовательно, эта Теорема Г.Кантора не является мета-математической.

Как будто мета-математические рассуждения появились в каком-то конкретном году... А до того, как их назвали метаматематическими, они таковыми не являлись.
А это вообще прелестно:

Цитата:

Более того, ее трудно назвать и математической теоремой потому, что из математики в ее доказательстве используются только три элементарных математических понятия, а именно, понятия натурального числа, действительного числа и множества (последовательности) чисел.

Вот интересно, сколько математических понятий должна содержать теория, чтобы носить гордое звание математической?

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1069059 писал(а):

Странно, что ДАН такую статью опубликовал.

Так в "Вопросах философии" же опубликовал, а с философов что взять. Например, автору

Цитата:

Тривиально очевидно, что для пересчета (1) в двоичной системе можно построить только единственное ДДЧ $y_1$

Математикам тривиально очевидно, что даже и в двоичной -- отнюдь не единственное. Философу же очевидно, естественно, обратное.