Сумма двух разрывных функций

[Ktina]

Задача №336 из "под редакцией Демидовича":
Привести пример, показывающий, что сумма двух разрывных функций может быть функцией непрерывной.

Пример для разрыва первого рода:

$$f(x)=\lfloor x \rfloor,\quad g(x)=-\lfloor x \rfloor,\quad f(x)+g(x)\equiv 0$$

Пример для разрыва второго рода:

$$f(x)=D(x)~\text{(функция Дирихле)},\quad g(x)=-D(x),\quad f(x)+g(x)\equiv 0$$

Готичненько как-то.
Возникает (во всяком случае, у меня) желание либо придумать примеры покрасивее, либо значительно усложнить задачу.

Пожалуйста, помогите решить.

[Oleg Zubelevich]

откройте Гелбаума Олмстеда и будет Вам счастье

[Ktina]

Oleg Zubelevich в сообщении #756375 писал(а):

откройте Гелбаума Олмстеда и будет Вам счастье

Глава №2, пример №12.
Чем-то отдалённо похоже, но тоже слишком просто.

-- 21.08.2013, 14:30 --

А вообще, книжка улётная.

[TOTAL]

Ktina в сообщении #756372 писал(а):

Задача №336 из "под редакцией Демидовича":
Привести пример, показывающий, что сумма двух разрывных функций может быть функцией непрерывной.

Универсальный пример:

$$\text{<непрерывная функция + что попала> - <та же самая что попала> = <непрерывная функция>}$$

[Ktina]

TOTAL в сообщении #756383 писал(а):

Универсальный пример:

$$\text{<непрерывная функция + что попала> - <та же самая что попала> = <непрерывная функция>}$$

К сожалению, не всегда.

$$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}$$

[TOTAL]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #756385 писал(а):

К сожалению, не всегда.

$$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}$$

Ну так поменяте заголовок на "универсальный пример, к сожалению, работающий не всегда"

[Ktina]

TOTAL в сообщении #756386 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #756385 писал(а):

К сожалению, не всегда.

$$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}$$

Ну так поменяте заголовок на "универсальный пример, к сожалению, работающий не всегда"

Простите, это мой косяк был. Функция $f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}$, кажется, всё-таки да непрерывна на $\mathbb R$...

-- 21.08.2013, 15:15 --

Она в нулю не определена, но это не мешает ей иметь там предел.

[Otta]

Ktina в сообщении #756387 писал(а):

непрерывна на $\mathbb R$...

На области определения.

[Ktina]

Otta в сообщении #756389 писал(а):

Ktina в сообщении #756387 писал(а):

непрерывна на $\mathbb R$...

На области определения.

А почему не Херсон на $\mathbb R$? У неё ведь даже в точке $x=0$ предел есть, хоть она сама там и не определена.

-- 21.08.2013, 15:38 --

Ах, да, Вы правы, предел же должен быть равен значению, а тут значения нет

[Aritaborian]

Тут такая штука: некоторые (не все?) авторы утверждают, что все элементарные функции непрерывны на своей области определения. А вне её они просто не рассматриваются. Следовательно, они просто непрерывны и всё. ИМХО, тухлое какое-то определение.

[Oleg Zubelevich]

Aritaborian в сообщении #756394 писал(а):

авторы утверждают, что все элементарные функции

дайте определение элементарной функции и ссылки на указанных авторов

[Ktina]

Aritaborian в сообщении #756394 писал(а):

Тут такая штука: некоторые (не все?) авторы утверждают, что все элементарные функции непрерывны на своей области определения. А вне её они просто не рассматриваются. Следовательно, они просто непрерывны и всё. ИМХО, тухлое какое-то определение.

ИМХО тоже.
Я вообще, когда задачу читала, меня так и подмывало спросить автора: "непрерывной где? в точке? на интервале? а на интервале означает на интердевочке по имени Валя? на отрезке? ещё на каком-нибудь множестве?".

[Otta]

Гораздо больше споров вызывает смежная тема: классификация точек разрыва. Вернее, даже не классификация, а просто определение точки разрыва.
Некоторые (например, Демидович) считают, что у функции $f(x)=1/x$ ноль является точкой разрыва второго рода, а некоторые другие - что не является.

Вторые функции рассматривают только на области определения (в этом есть своя логика) и точки разрыва определяют как те точки из области определения, где нет непрерывности.
У первых же точка разрыва может быть и граничной точкой области определения, не принадлежащей ей. Это полезно с точки зрения информации, которую мы получаем о функции, но насколько логично - вопрос.

Факт, что некая разноголосица здесь присутствует.

[Aritaborian]

Oleg Zubelevich, элементарные функции это многочлены, рациональные, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, логарифм, экспонента и всё, что можно получить комбинированием вышеперечисленного.
Ткнуть пальцем в авторов сейчас не могу, нет книг под рукой.

[Ktina]

Otta в сообщении #756407 писал(а):

Некоторые (например, Демидович) считают, что у функции $f(x)=1/x$ ноль является точкой разрыва второго рода, а некоторые другие - что не является.

Хотелось бы узнать, кто такие эти "другие". Пределы с обеих сторон бесконечны, о каком первом роде может итти речь?