2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сумма двух разрывных функций
Сообщение21.08.2013, 14:06 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Задача №336 из "под редакцией Демидовича":
Привести пример, показывающий, что сумма двух разрывных функций может быть функцией непрерывной.

Пример для разрыва первого рода:
$$f(x)=\lfloor x \rfloor,\quad g(x)=-\lfloor x \rfloor,\quad f(x)+g(x)\equiv 0$$

Пример для разрыва второго рода:
$$f(x)=D(x)~\text{(функция Дирихле)},\quad g(x)=-D(x),\quad f(x)+g(x)\equiv 0$$
Готичненько как-то.
Возникает (во всяком случае, у меня) желание либо придумать примеры покрасивее, либо значительно усложнить задачу.

Пожалуйста, помогите решить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух разрывных функций
Сообщение21.08.2013, 14:20 


10/02/11
6786
откройте Гелбаума Олмстеда и будет Вам счастье

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух разрывных функций
Сообщение21.08.2013, 14:27 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Oleg Zubelevich в сообщении #756375 писал(а):
откройте Гелбаума Олмстеда и будет Вам счастье

Глава №2, пример №12.
Чем-то отдалённо похоже, но тоже слишком просто.

-- 21.08.2013, 14:30 --

А вообще, книжка улётная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух разрывных функций
Сообщение21.08.2013, 14:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5495
Нов-ск
Ktina в сообщении #756372 писал(а):
Задача №336 из "под редакцией Демидовича":
Привести пример, показывающий, что сумма двух разрывных функций может быть функцией непрерывной.

Универсальный пример:
$$\text{<непрерывная функция + что попала> - <та же самая что попала> = <непрерывная функция>}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух разрывных функций
Сообщение21.08.2013, 15:01 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
TOTAL в сообщении #756383 писал(а):
Универсальный пример:
$$\text{<непрерывная функция + что попала> - <та же самая что попала> = <непрерывная функция>}$$

К сожалению, не всегда.
$$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух разрывных функций
Сообщение21.08.2013, 15:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5495
Нов-ск

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #756385 писал(а):
К сожалению, не всегда.
$$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}$$
Ну так поменяте заголовок на "универсальный пример, к сожалению, работающий не всегда" :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух разрывных функций
Сообщение21.08.2013, 15:13 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
TOTAL в сообщении #756386 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #756385 писал(а):
К сожалению, не всегда.
$$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}$$
Ну так поменяте заголовок на "универсальный пример, к сожалению, работающий не всегда" :mrgreen:

Простите, это мой косяк был. Функция $f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}$, кажется, всё-таки да непрерывна на $\mathbb R$...

-- 21.08.2013, 15:15 --

Она в нулю не определена, но это не мешает ей иметь там предел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух разрывных функций
Сообщение21.08.2013, 15:28 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Ktina в сообщении #756387 писал(а):
непрерывна на $\mathbb R$...

На области определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух разрывных функций
Сообщение21.08.2013, 15:35 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Otta в сообщении #756389 писал(а):
Ktina в сообщении #756387 писал(а):
непрерывна на $\mathbb R$...

На области определения.

А почему не Херсон на $\mathbb R$? У неё ведь даже в точке $x=0$ предел есть, хоть она сама там и не определена.

-- 21.08.2013, 15:38 --

Ах, да, Вы правы, предел же должен быть равен значению, а тут значения нет :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух разрывных функций
Сообщение21.08.2013, 16:10 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Тут такая штука: некоторые (не все?) авторы утверждают, что все элементарные функции непрерывны на своей области определения. А вне её они просто не рассматриваются. Следовательно, они просто непрерывны и всё. ИМХО, тухлое какое-то определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух разрывных функций
Сообщение21.08.2013, 16:21 


10/02/11
6786
Aritaborian в сообщении #756394 писал(а):
авторы утверждают, что все элементарные функции

дайте определение элементарной функции и ссылки на указанных авторов

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух разрывных функций
Сообщение21.08.2013, 16:21 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Aritaborian в сообщении #756394 писал(а):
Тут такая штука: некоторые (не все?) авторы утверждают, что все элементарные функции непрерывны на своей области определения. А вне её они просто не рассматриваются. Следовательно, они просто непрерывны и всё. ИМХО, тухлое какое-то определение.

ИМХО тоже.
Я вообще, когда задачу читала, меня так и подмывало спросить автора: "непрерывной где? в точке? на интервале? а на интервале означает на интердевочке по имени Валя? на отрезке? ещё на каком-нибудь множестве?".

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух разрывных функций
Сообщение21.08.2013, 17:19 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Гораздо больше споров вызывает смежная тема: классификация точек разрыва. Вернее, даже не классификация, а просто определение точки разрыва.
Некоторые (например, Демидович) считают, что у функции $f(x)=1/x$ ноль является точкой разрыва второго рода, а некоторые другие - что не является.

Вторые функции рассматривают только на области определения (в этом есть своя логика) и точки разрыва определяют как те точки из области определения, где нет непрерывности.
У первых же точка разрыва может быть и граничной точкой области определения, не принадлежащей ей. Это полезно с точки зрения информации, которую мы получаем о функции, но насколько логично - вопрос.

Факт, что некая разноголосица здесь присутствует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух разрывных функций
Сообщение21.08.2013, 17:24 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Oleg Zubelevich, элементарные функции это многочлены, рациональные, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, логарифм, экспонента и всё, что можно получить комбинированием вышеперечисленного.
Ткнуть пальцем в авторов сейчас не могу, нет книг под рукой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух разрывных функций
Сообщение21.08.2013, 22:00 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Otta в сообщении #756407 писал(а):
Некоторые (например, Демидович) считают, что у функции $f(x)=1/x$ ноль является точкой разрыва второго рода, а некоторые другие - что не является.

Хотелось бы узнать, кто такие эти "другие". Пределы с обеих сторон бесконечны, о каком первом роде может итти речь?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group