принцип наименьшего действия

[Oleg Zubelevich]

Речь пойдет об одном простом факте, который называется теоремой Серре, формулируют ее в книжках крайне редко, а доказательства я и вовсе никогда не видел. Математический фольклор одним словом. Теорема Серре мотивирует до некоторой степени название "принцип наименьшего действия".

Рассмотрим натуральную систему с лагранжианом

$$L=\frac{1}{2}g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j-V(x),\qquad x=(x^1,\ldots,x^m)\in M\subset\mathbb{R}^m,$$

все функции в лагранжане являются гладкими в некоторой области $M$ и ,конечно, $g_{ij}=g_{ji}$.

Под натуральностью будем понимать следующее:

$$g_{ij}(x)\xi^i\xi^j\ge c|\xi|^2,\quad |\xi|^2=\sum_i(\xi^i)^2\qquad (*)$$

. Через $c$ будем обозначать несущественные положительные константы.
Пусть $\tilde x(t)\in C^2[0,T]$ -- решение уравнений Лагранжа. Выберем на этом решении две точки $x_0,x_1$ так, что $\tilde x(0)=x_0,\quad \tilde x(T)=x_1$, где $T>0$ -- некоторое число.
Введем метрическое пространство $W_T=\{x(t)\in H^1[0,T]\mid x(0)=x_0,\quad x(T)=x_1\}$ с метрикой $\rho(f,g)=\|f-g\|_{H^1[0,T]}$.

Теорема. (Серре) Предположим, что число $T$ достаточно мало. Тогда функция $\tilde x$ является локальным минимумом функционала

$$F(x(\cdot))=\int_0^TL(x,\dot x)\,dt$$

на множестве $W_T$.


Доказательство.

Мы проверим, что вторая вариация

$$G(h)=\frac{d^2}{d\epsilon^2}\Big|_{\epsilon=0}F(\tilde x(\cdot)+\epsilon h(\cdot))$$

сильно положительна на пространстве функций $H_0^1[0,T]=\{h\in H^1[0,T]\mid h(0)=h(T)=0\} .$ Т.е. $G(h)\ge c\|h\|^2_{H^1[0,T]}.$

Проверка основана на двух наблюдениях.

1) Пусть $w_{ij}(t)\in C^1[0,T]$ -- симметричный по нижним индексам набор функций: $w_{ij}=w_{ji}$. Тогда с помощью интегрирования по частям находим:

$$\int_0^Tw_{ij}\dot h^ih^jdt=-\frac{1}{2}\int_0^T\dot w_{ij}h^ih^jdt\qquad (h^i\in H^1_0[0,T]).$$

В силу этого наблюдения вторая вариация имеет вид

$$G(h)=\int_0^T\Big(g_{ij}(\tilde x(t))\dot h^i(t)\dot h^j(t)+f_{ij}(t)h^i(t)h^j(t)\Big)dt.$$

2) Для любой скалярной функции $u(t)\in H^1[0,T],\quad u(0)=0$ справедливо неравенство

$$\int_0^Tu^2(t)dt\le \frac{T^2}{2}\int_0^T\dot u^2(t)dt.\qquad (**)$$

Вместе в формулой (*) это наблюдение и завершает доказательство теоремы.
Для гладких функций формула (**) вытекает из неравенства Йенсена:

$$\int_0^Tu^2(t)dt=\int_0^T\Big(\int_0^t\dot u(s)ds\Big)^2dt\le\int_0^Tt\int_0^t\dot u^2(s)dsdt.$$

[Munin]

Может быть, вы этого и не видели, а в физических книжках (хоть и не в строгом виде, и без упоминания фамилии Серре (Serret)) это доказательство фигурирует довольно часто.

[Oleg Zubelevich]

А в каких именно книжках?

[Munin]

Не уверен насчёт Ландау-Лифшица "Механика", но в "Фейнмановских лекциях по физике" точно было. Ещё смутно помнится Савельев "Теорфизика". Разумеется, уровень строгости вас нисколько не удовлетворит, но сам факт "на пальцах" для физиков не нов.

Более того, принято уже давно обсуждать случаи, когда $T$ не мало, так что действие остаётся экстремальным, но перестаёт быть минимальным.

[Oleg Zubelevich]

в ЛЛ-1 есть в сноске -- только что такое "достаточно малый участок траектории" вот это надо правильно понимать

[Munin]

И только в этом трудность? Вроде, в пределах эпсилон-дельта-определений это каждый первокурсник понимает.

[Oleg Zubelevich]

что-то я с пунктом 1) перемудрил.

Выражение для $G(h)$ выглядит так

$$G(h)=\int_0^T\Big(g_{ij}(\tilde x(t))\dot h^i(t)\dot h^j(t)+f_{ij}(t)h^i(t)h^j(t)+w_{ij}(t)h^i\dot h^j\Big)dt$$

Член вида $\int_0^Tw_{ij}(t)h^i\dot h^jdt$, где $w_{ij}$ набор гладких функций не обязательно симметричный по индексам. Это выражение оценивается следующим образмом:

$$\Big|\int_0^Tw_{ij}(t)h^i\dot h^jdt\Big|\le c\|h\|_{L^2[0,T]}\|\dot h\|_{L^2[0,T]}\le c T\|\dot h\|_{L^2[0,T]}^2$$

Последнее неравенство следует из формулы (**)