|
Для функций многих переменных n-кратная дифференцируемость в точке вводится как существование всех ее частных производных n-1-го порядка в некоторой окрестности точки и их дифференцируемость в точке.
Доказывается теорема Юнга: двухкратной дифференцируемости функции в точке достаточно для равенства смешанных производных в этой точке.
Далее доказывается обобщенная теорема Юнга о достаточности n-кратной дифференцируемости функции в точке для равенства всех смешанных производных вплоть до n-го порядка в этой точке. Производным в окрестности не предъявляется никаких требований кроме существования. Сначала доказывается, что это верно для случая, когда перестанавливаемые переменные "самые внешние", это сразу следует из теоремы Юнга.
Затем говорится, что если эти соседние переменные будут не самыми внешними, то производные до них включительно будут равны, а дальше можно продифференцировать эти равные производные еще по любым переменным, получив равные смешанные производные с переставленными соседними переменными на любых местах.
Если бы производные были равны не только в точке, но тождественно равны в некоторой ее окрестности, все было бы логично. Но никаких требований к окрестности не предъявлено, а из равенства функций в точке, разумеется, не следует равенство их производных в точке. В то же время, с ходу не придумывается контрпример (дважды дифференцируемой в точке функции, у которой в любой окрестности смешанные производные не равны тождественно).
В учебниках Фихтенгольца и Зорича функция вообще рассматривается на открытом множестве, и там, конечно, получается все хорошо. Но в учебниках Ильина-Позняка и Садовничего речь идет именно о точках. Т.к. это утверждение более сильное (если оно верное), то хотелось бы использовать его.
|
