Решение кубического уравнения без комплексных чисел

[g______d]

dmd в сообщении #751853 писал(а):

g______d
Т.е. в неприводимом случае при попытке выразить три различных действительных корня в выражениях неизбежно возникнет квадратный корень из дискриминанта? 100%? Это как-то доказуемо?

То, что вылезет именно корень из дискриминанта, не утверждается. Доказано, что если есть кубический полином с рациональными коэффициентами, неприводимый над $\mathbb Q$ и имеющий 3 вещественных корня, то корни нельзя получить из рациональных чисел, если разрешается проводить алгебраические операции и извлекать корни из положительных чисел. Собственно, точная формулировка в начале статьи.

[pentoid]

[*][*][*]Согласен затея неудачная,но попрошу ещё немного вашего внимания.Идея такая:использовать в кубическом уравнении дробно-линейную подстановку $x=\frac{t+n}{t+1}$ В уравнении

$$(\frac{t+n}{t+1})^3+a(\frac{t+n}{t+1}\)^2+b(\frac{t+n}{t+1})+c=o$$

после перегруппировки по неизвестному $t$,коэффициенты при неизвестном первой и второй степени приравнять нулю.Для $n$ и $t$ получаются выражения:

$$n=\frac{-(3+4a+5b)}{6+2a}\pm\sqrt{\left(\frac{-(3+4a+5b)}{6+2a}\right)^2-(a+b+6c)}$$

$$t=-\sqrt[3]{\frac{n^3+an^2+bn+c}{a+b+c+1}}$$

Если все корни взять с обратными знаками,то в уравнении изменятся только знаки перед коэффициентами $a$ и $c$,поэтому под квадратным корнем для $n$ всегда можно сделать положительную величину.
Где здесь могут быть теоретические трудности?

[Someone]

pentoid в сообщении #751862 писал(а):

Где здесь могут быть теоретические трудности?

Уравнение $t^3+A=0$ при $A\neq 0$ имеет один действительный и два комплексных корня.

[TR63]

(Оффтоп)

pentoid,
у Абеля была история (может, знаете). Он считал, что решил уравнение пятой степени в общем виде. Никто из профессоров не мог найти ошибку. Ему был дан совет: проверить формулу на примерах. Вот, и Вы проверьте свою идею хотя бы на одном примере, чтобы другим не парится.

[pentoid]

Вспомогательная перемeнная $t$ имеет два значения,соответствующих двум значениям параметра $n$.Выше формула для $n$ была приведена неточно,извините.

$$n=\frac{-(3+4a+3b)}{2(3+a)}\pm\sqrt{\left(\frac{-(3+4a+3b)}{2(3+a)}\right)^2-\frac{a+3b+6c}{3+a}}$$

Например: $x^3+6x-20=0$
$n=3.3;-10.3; t=1.4;-4.5;$ соответственно.

$$x=\frac{3.3+1,4}{1.4+1}=1,96$$

Второй корень лишний.

[tolstopuz]

pentoid в сообщении #752881 писал(а):

Например: $x^3+6x-20=0$
$n=3.3;-10.3; t=1.4;-4.5;$ соответственно.

$$x=\frac{3.3+1,4}{1.4+1}=1,96$$

Второй корень лишний.

Так как у этого уравнения только один действительный корень, формула Кардано не требует комплексных чисел. Кроме того, она проще в вычислениях:

$$Q=\left(\frac p 3\right)^3+\left(\frac q 2\right)^2=108=3\cdot6^2$$

$$x = \sqrt[3]{-\frac q 2+\sqrt Q} + \sqrt[3]{-\frac q 2-\sqrt Q}=\sqrt[3]{10+6\sqrt3}+\sqrt[3]{10-6\sqrt3}=(1+\sqrt3)+(1-\sqrt3)=2$$

[Aritaborian]

pentoid, определитесь уже, какой десятичный разделитель использовать: точку или запятую (в наших краях запятая, безусловно, правильнее). Неряшливо выглядит.

[Someone]

pentoid в сообщении #752881 писал(а):

$$x=\frac{3.3+1,4}{1.4+1}=1,96$$

$1{,}96$ не является корнем уравнения $x^3+6x-20=0$.

pentoid в сообщении #751862 писал(а):

коэффициенты при неизвестном первой и второй степени приравнять нулю

Я не понимаю, что Вы делаете. Проделайте все вычисления подробно. Крайне желательно — без десятичных дробей и без приближённых вычислений.

Возьмём уравнение

$$x^3+ax^2+bx+c=0.\eqno(1)$$

Подставим в него

$$x=\frac{t+n}{t+1}.\eqno(2)$$

Получится

$$\left(\frac{t+n}{t+1}\right)^3+a\left(\frac{t+n}{t+1}\right)^2+b\left(\frac{t+n}{t+1}\right)+c=0;$$

умножаем на $(t+1)^3$:

$$(t+n)^3+a(t+n)^2(t+1)+b(t+n)(t+1)^2+c(t+1)^3=0;$$

раскрываем скобки и группируем по степеням $t$:

$$(1+a+b+c)t^3+(a+2b+3c+3n+2an+bn)t^2+(b+3c+2an+2bn+3n^2+an^2)t+(c+bn+an^2+n^3)=0.\eqno(3)$$

Приравнивая к нулю коэффициенты при $t$ и $t^2$, получим систему

$$\begin{cases}(2a+b+3)n+(a+2b+3c)=0,\\ (a+3)n^2+2(a+b)n+(b+3c)=0,\end{cases}\eqno(4)$$

которая не имеет решений (исключая специально подобранные значения $a$, $b$, $c$).

Что делать дальше и откуда взять Ваши выражения?

[pentoid]

После сложения уравнений составляющих систему (4),из полученного квадратного уравнения вытекает приведённая выше формула для параметра $n$.
Например:

$$x^3-89109x+267300=0$$

$$n=3; t=0;$$

$$x=\frac{0+3}{0+1}=3.$$

[Someone]

pentoid в сообщении #753530 писал(а):

После сложения уравнений составляющих систему (4)

Решение этого уравнения не является решением системы (4), поэтому получается, что Вы всех ввели в заблуждение: Вы вовсе не "приравниваете указанные Вами коэффициенты к нулю", а делаете что-то совсем другое.

Ладно, смотрим дальше. Как оказалось, вместо системы (4) нужно решать уравнение

$$(a+3)n^2+(4a+3b+3)n+(a+3b+6c)=0.\eqno(5)$$

Его корни

$$n=\frac{-(4a+3b+3)\pm\sqrt{(4a+3b+3)^2-4(a+3)(a+3b+6c)}}{2(a+3)},\eqno(6)$$

что совпадает с написанным в сообщении http://dxdy.ru/post752881.html#p752881.

pentoid в сообщении #753530 писал(а):

Например:

$$x^3-89109x+267300=0$$

$$n=3; t=0;$$

$$x=\frac{0+3}{0+1}=3.$$

Извините, это неправда. Мягко выражаясь, Вы снова вводите нас в заблуждение.

У Вас $a=0$, $b=-89109$, $c=267300$. Подставляя в уравнение (5), получим уравнение $3n^2-267324n+1336473=0$. Ни один из его корней не равен $3$. Корни у него такие:

$$n=44554\pm 5 \sqrt{79384537},$$

или, приближённо, $n_1\approx 4{,}9997306336850721477$ и $n_2\approx 89103{,}000269366314928$.
При подстановке этих корней в уравнение (3) получим для $t$ уравнения

\begin{multline*}178192t^3-6(661567507-74255\sqrt{79384537})t^2+\\ [phone]\sqrt{79384537})t+8(44213218082591-4962313165\sqrt{79384537})=0\end{multline*}$$

(для знака "$-$" перед радикалом в выражении для $n$) и

\begin{multline*}178192t^3-6(661567507+74255\sqrt{79384537})t^2+\\ [phone]+74255\sqrt{79384537})t+8(44213218082591+4962313165\sqrt{79384537})=0\end{multline*}$$

(для знака "$+$").
У первого уравнения корни $t_1=\frac{44257-5\sqrt{79384537}}{296}$, $t_2=\frac{44551-5\sqrt{79384537}}2$, $t_3=-\frac{44854-5\sqrt{79384537}}{301}$, у второго, соответственно, $t_1=\frac{44257+5\sqrt{79384537}}{296}$, $t_2=\frac{44551+5\sqrt{79384537}}2$, $t_3=-\frac{44854+5\sqrt{79384537}}{301}$. Без комплексных чисел эти уравнения не решаются, поскольку у них по три действительных корня.
Подстановка найденных $n$ и $t$ в выражение (2) даёт для вашего уравнения корни $297$, $3$, $300$.

Убедительнейше прошу в случае какой-то новой идеи демонстрировать нам все вычисления подробно на численном примере. Не берите уравнение с большими коэффициентами; возьмите, например, уравнение $x^3-6x+7=0$, у которого корни $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=-3$.

[dmd]

Someone в сообщении #753631 писал(а):

уравнение $x^3-6x+7=0$, у которого корни $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=-3$.

$x^3-7x+6=0$

(Оффтоп)

? \\ f= a*x+b*x^2+c*x^3
? a= -7; b= 0; c= 1; f= -6;\
X= a*b+9*c*f; Y= b^2-3*a*c; Z= a^2+3*b*f;\
A= (-X+sqrt(X^2-4*Y*Z))/Y/2;\
G= a+2*b*A+3*c*A^2; H= a*A+b*A^2+c*A^3-f; F= G^3-27*c*H^2;\
B= [F^(1/3), -(-1)^(1/3)*F^(1/3), (-1)^(2/3)*F^(1/3)];\
x= [A+3*H/(B[1]-G), A+3*H/(B[2]-G), A+3*H/(B[3]-G)];\
print(x);
[1.000000000000000000000000000 - 1.262177449 E-29*I, 2.000000000000000000000000000 - 3.786532346 E-29*I, -3.000000000000000000000000001 - 1.767048428 E-28*I]

Заинтересовал вопрос. Неприводимое кубическое уравнение с целыми коэффициентами может иметь целые корни?

[Xaositect]

dmd в сообщении #753651 писал(а):

Заинтересовал вопрос. Неприводимое кубическое уравнение с целыми коэффициентами может иметь целые корни?

Очевидно да, любое кубическое уравнение с тремя целыми корнями имеет целые коэффициенты.

[Someone]

(Оффтоп)

dmd в сообщении #753651 писал(а):

Someone в сообщении #753631 писал(а):

уравнение $x^3-6x+7=0$, у которого корни $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=-3$.

$x^3-7x+6=0$

Да. Случайно переставил коэффициенты и не посмотрел на то, что написал.

dmd в сообщении #753651 писал(а):

Заинтересовал вопрос. Неприводимое кубическое уравнение с целыми коэффициентами может иметь целые корни?

Э-э-э... Многочлен с целыми коэффициентами, имеющий целые корни, разлагается на линейные множители (над кольцом целых чисел). Поэтому приводим (над оным кольцом), если его степень больше единицы.

[dmd]

Xaositect, Someone
При всём уважении, но вопрос не услышан. Спросил исключительно только про неприводимый/неразложимый многочлен. Возможна ли ситуация типа этой?

[Someone]

Тогда я не понял, что Вы имели в виду. И ваша ссылка ничего не прояснила.

Сформулируйте точнее.