Помогите разобраться в лагранжевой механике

[ValkerN]

Не понимаю как Лагранж додумался до своей функции.
Я ещё понимаю что по чисто математическим соображениям если среди многих траекторий реализуется на практике одна, то можно её охарактеризовать величиной, которая будет в чём то уникальна среди других (минимальна, максимальна, экстремум некой функции и т.д.).
Но почему она должна выражаться через интеграл от некой "штуки", и откуда Лагранж взял что эта "штука" равна разнице между кинетической и потенциальной энергией, и вообще каким образом она характеризует мех. систему, это мне вообще непонятно)...

Не могли бы вы мне это пояснить?)

[Munin]

ValkerN в сообщении #752583 писал(а):

Не понимаю как Лагранж додумался до своей функции.

Ну, исторически это происходило постепенно, мелкими шажками. В этом участвовали Ферма, Мопертюи, Эйлер.

Например, в оптике известен принцип Ферма: луч света распространяется по линии, оптическая длина которой наименьшая. В пустом пространстве это очевидно приводит к прямой. В случае границы оптических сред - к законам преломления Снеллиуса.

Отсюда можно сделать шаг к вариационному принципу Мопертюи. Он вместо луча света рассматривает механическое движение точки, и тоже вычисляет его линию через некую "оптическую длину". Чтобы учесть разные потенциалы, в которых точка может двигаться, их можно уподобить разным оптическим средам, и подгоняя формулу, получить, что под интегралом должна стоять величина $\sqrt{2m(E-U)}$ (интегрирование по $dl$). Величина полной энергии частицы в данном случае - произвольный параметр.

А дальше, необходимо перейти от формулировки в пространстве к формулировке в пространстве-времени. При этом произвольным параметром становится не полная энергия частицы, а полное время в пути. Это можно сделать ещё несколькими математическими преобразованиями.

В учебниках эта история рассказывается "задом наперёд", потому что так логически прозрачней. Уравнения Лагранжа просты и ярки, они непосредственно сопоставляются со 2 законом Ньютона, а принцип Мопертюи получается более замысловато, и из него уравнения движения - тоже. Это типичная история в истории науки: последующие достижения проливают свет и приносят простоту и ясность идей в те методы, которые были открыты изначально в запутанном и туманном виде, как непонятные взаимосвязи.

[Oleg Zubelevich]

ValkerN
посмотрите как выводится принцип Даламбера-Лагранжа из второго закона Ньютона (+некоторые дополнительные гипотезы), а потом как выводятся уравнения Лагранжа из принципа Даламбера-Лагранжа. Откройте учебник и проследите эту цепочку для начала.

[Munin]

Oleg Zubelevich
Дайте ссылку на учебник, в котором именно эта цепочка приведена.

[Oleg Zubelevich]

А. П. Маркеев Теоретическая механика.


2TC: коротко говоря, во времена Лагранжа стояла проблема научиться выписывать уравнения динамики, которые не содержали бы реакций связей т.к. последние a priori неизвестны и вызывают дополнительные сложности немалые. Вот Лагранж выделил класс систем, в которых реакции связей можно универсально единообразным образом исключить из уравнений движения. Исключил реакции связей и получил эти самые уравнения Лагранжа.

[Munin]

Oleg Zubelevich
Спасибо за ссылку!

[ValkerN]

А есть из литературы что нибудь более лаконичное и элементарное?
Как я понимаю вся эта механика твёрдого тела и статика имеет в основном инженерное значение (а все эти связи честно говоря выглядят довольно искусственно). Для того чтобы всё это вывести надо говорить сначала об отдельной (движущейся во неком поле) материальной точке. Мне хочется понять именно эту основу (остальные приложения долго читать и можно вывести самому при большом желании).
Какую литературу (посвящённую именно этому) посоветуете?

[Oleg Zubelevich]

Ну вот, оказывается он уже все знает. Типичный случай необучаемого студента.

[ValkerN]

Oleg Zubelevich

Если бы я всё знал я бы не обращался на форум. А типичные случаи относятся к типичным преподавателям.

[Munin]

ValkerN в сообщении #752734 писал(а):

Как я понимаю вся эта механика твёрдого тела и статика имеет в основном инженерное значение (а все эти связи честно говоря выглядят довольно искусственно).

Отнюдь, они имеют большое теоретическое значение. По крайней мере, механика систем из многих частиц, и механика многочастичных систем со связями (частным случаем которой является механика твёрдого тела).

В конце 19 - начале 20 века было обнаружено, что вообще любая известная физике физическая система может быть представлена как механическая: при этом параметры, задающие состояние системы, рассматриваются как обобщённые координаты механической системы, а уравнения, описывающие эволюцию системы со временем, рассматриваются как уравнения движения механической системы. Это позволило подняться на высокий уровень обобщения физических идей и законов, таких, как понятие энергии, законы сохранения, второе начало термодинамики, и расширить их применение на всю физику (энергия во второй раз получила такое расширение). По сути, это привело к рождению теоретической физики. В дальнейшем, это дало возможность применять теоретические идеи ко всем возможным физическим системам сразу, такие как переход к релятивистскому случаю, квантование, статистическое рассмотрение, возникновение регулярного и хаотического поведения.

На сегодня, вся теоретическая физика стоит на математическом аппарате теоретической механики. Некоторые механические идеи при этом получили дальнейшее глубокое развитие, например, фазовое пространство, связи, колебания, возмущённое движение. Некоторые другие остались в стороне, такие как трение и удар (для трения это не совсем верно). Можно точно сказать, что когда на физических и механико-математических факультетах изучают теоретическую механику, то делается это прежде всего для того, чтобы дать фундамент и универсальный язык для обращения ко всей остальной теоретической физике, и только в третью очередь - ради собственно механических явлений. Механические явления, рассматриваемые в теоретической механике, особенно математиками, часто имеют настолько идеализированную формулировку, что теряют всякую связь с реальностью и экспериментом в механике. Например, абсолютное отсутствие потерь, или наоборот, настолько абсолютные потери, что они могут остановить сколь угодно быстрое движение сколь угодно массивного тела моментально.

ValkerN в сообщении #752734 писал(а):

Для того чтобы всё это вывести надо говорить сначала об отдельной (движущейся во неком поле) материальной точке.

Точнее, не "сначала". Любая система из многих точек рассматривается как одна точка в многомерном пространстве. Допустим, у нас $N$ точек, и тогда все их координаты $x_1,y_1,z_1,x_2,\ldots z_N$ образуют координаты точки в $3N$-мерном пространстве. В этом пространстве возникает анизотропная масса (если исходные точки имели разные массы), и сложное поле потенциальной энергии (отвечающее, в том числе, взаимодействиям исходных точек между собой), а также, при наличии связей между точками - некоторая гиперповерхность, по которой можно двигаться, и с которой нельзя сходить, или другие ограничения. Но дальше речь идёт только об этой одной точке в многомерном пространстве, и для неё механическая задача становится задачей движения точки (в потенциале и, возможно, со связями).

ValkerN в сообщении #752734 писал(а):

Какую литературу (посвящённую именно этому) посоветуете?

Довольно быстрое введение в основу - Ландау, Лифшиц "Теоретическая физика. Т. 1. Механика". Этот учебник лучше других учебников для физиков, но может быть недостаточно строг и качественен для математиков. Для математиков (не столь быстрое введение, но всё же быстрое) - Арнольд "Математические методы классической механики". И наконец, упомянутый Маркеев - это для медленного освоения, глубокого разностороннего рассмотрения, и как справочник.

-- 07.08.2013 16:57:57 --

ValkerN в сообщении #752801 писал(а):

Если бы я всё знал я бы не обращался на форум.

Просто ваши предположения были неверны. А такие преподаватели, как Oleg Zubelevich, очень нервно относятся к студентам, делающим заранее какие-то предположения. Разумеется, переобучить их можно, но зачастую они цепляются за свои идеи сильнее, чем за тот материал, который им дают. И энергии на переубеждение уходит непропорционально много. Так, что у Oleg Zubelevich руки опускаются (впрочем, особого энтузиазма я у него вообще никогда не наблюдал). И трудно заранее отличить толкового студента от дурака, который не откажется от своих ошибочных идей никогда и ни за что (таких полно, увы, особенно в интернете и на научных форумах).

Постарайтесь свои предположения о том, чего вы ещё не знаете, произносить в более предположительном ключе, и относиться к ним более гибко, не держаться за них упорно.

[Oleg Zubelevich]

Для ТС можно предложить следующую полезную задачу (в известной степени в этой задаче вся лагранжева механика как в капле воды). В $\mathbb{R}^3$ имеется гладкая двумерная поверхность с параметрическим уравнением $\overline r=\overline r(q^1,q^2)$. По поверхности без трения скользит точка массы $m$. На точку действует сила тяжести (ну или не действует если попроще). Написать дифференциальные уравнения движения точки в терминах $q^1,q^2$. Убедиться, что получились уранения Лагранжа.

[Alex-Yu]

ValkerN в сообщении #752583 писал(а):

Не понимаю как Лагранж додумался до своей функции.

Это еще не самое сложное. А вот как Гайзенберг додумался до матриц.... Это "покруче сюжет".

В науке такое бывает. В известной степени такие открытия делаются "методом тыка". Попробуем так, попробуем эдак. Какие-то смутные аналогии, догадки... С попытки с очень большим номером иногда получается что-то хорошее. Но не всегда получается. В общем как по болоту ходить: может после долгих безуспешных попыток нащупаешь проходимую тропу, а может и утонешь.

P.S. Вон Вайнбер в своей книжке "Мечты об окончательной теории" прямо пишет, что так и не смог понять знаменитую статью Гайзенберга. Т.е. проверить-то можно, но вот как до такого додуматься... А он, Вайнберг, всетаки нобелевский лауреат

[Zai]

Для ряда краевых задач закон сохранения энергии требует, что бы изменение по времени кинетической энергии должно равняться изменению потенциальной энергии. Экстремум функционала разности энергий соответстует закону сохранения энергии. А если значение ненулевое - что тогда?

[svv]

ValkerN в сообщении #752583 писал(а):

Не понимаю как Лагранж додумался до своей функции.

Но почему она должна выражаться через интеграл от некой "штуки", и откуда Лагранж взял что эта "штука" равна разнице между кинетической и потенциальной энергией, и вообще каким образом она характеризует мех. систему, это мне вообще непонятно)...

Историю науки знаю плохо, дальнейшее — мои домыслы.

Освоив дифференцирование и интегрирование, математики попытались найти общие методы решения вариационных задач. Обычные методы поиска максимума и минимума функции здесь не проходили. Прорыв был сделан тогда, когда было показано, что экстремаль удовлетворяет дифференциальному уравнению Эйлера.

Но раз вариационной задаче соответствует дифференциальное уравнение, то можно попытаться, наоборот, найти вариационную задачу, сводящуюся к заданному дифференциальному уравнению. Что для уравнений механики и было сделано Лагранжем.

Имея второй закон Ньютона, подобрать под него соответствующий лагранжиан не так трудно. Ну, примерно так:
сравниваем уравнение Эйлера
$\frac d{dt}L_v=L_x$
и второй закон Ньютона
$\frac d{dt}(mv)=F=-\frac{dU}{dx}$.
Значит, всё будет OK, если $L_v=mv, L_x=-\frac{dU}{dx}$.
Естественно искать $L$ в виде суммы двух слагаемых, одно из которых зависит от $v$, другое от $x$:
$L=A(v)+B(x)$, причём
$\frac{dA}{dv}=mv$ (что даёт $A=\frac 1 2mv^2$),
$\frac{dB}{dx}=-\frac{dU}{dx} (что даёт $B=-U$).
Итак, $L=\frac 1 2mv^2-U$.

[Alex-Yu]

svv в сообщении #753259 писал(а):

Прорыв был сделан тогда, когда было показано, что экстремаль удовлетворяет дифференциальному уравнению Эйлера.

Только для функционалов специального вида. Топикстартер и спрашивал: а почему такой специальный вид? Да просто в некотрых других вариационных задачах (из статики) естественнен именно такой (точнее похожий) специальный вид. Из наглядных физических соображений естественнен. Например в статических задачах теории упругости. А дальше, глядя на ньютоновские уравнения в подходящей форме (как svv написал), вдруг "осеняет": ой, а чего это они так похожи на уравнения, что получались в совсем другой задаче? А нельзя ли и получить эти уравнения похожим образом? Все это предположительно, конечно. Это нужно поднимать всю литературу тех времен. Целое историческое исследование нужно чтобы разобраться как именно там было.

P.S. В далекой молодости меня тоже поставила в полный тупик лагранжева механика. Именно с точки зрения "а как до этого додуматься?" А никак! Только угадать и проверить по примеру с известным ответом. А потом обнаружить, что такой подход годится во многих других случаях. Сначал в обычной механике, но со связями. Потом в СТО, в ОТО, в теории поля. Везде годится! Постепенно привыкаешь и все это становится из серии "а как же иначе?" И вообще физика -- наука экспериментальная. Это и к ее математической части относится