Запутался в интеграле из ТФКП

[robot80]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста найти ошибку в вычислениях:)
Имеется известный из всех учебников по ТФКП интеграл $\oint_C \frac {dz} {z-a} $ , где С - окружность, например, с центом в точке (1,0) радиуса 2: $ |z-1| = 2$.
По теореме Коши получается, что если число $a$ лежит внутри круга с границей С, то этот интеграл равен $2\pi i$
Если же решать в лоб, через параметризацию окружности и переход к определённому интегралу одного переменного, то у меня получается так: если $a=1$, то этот интеграл равен $2\pi i$; если же $a$ лежит внутри круга, но не совпадает с центром, то интеграл равен нулю.
Вот ход решения для $a=2$:
Параметризация: $x = 1+2 \cos t$ $y = 2 \sin t$ Тогда $z-2 = -1 + 2 $e^{i t}$ и $dz = 2 i $e^{i t} dt$
Преобразуем интеграл: $\oint_C = \int_0^{2\pi} \frac {2 i \exp(i t) d t}{2 \exp(it)-1} $ Сделаем замену $u = $e^{i t}$, тогда верхний и нижний пределы перейдут в единицу, а интеграл будет равен $2 \int_1^1 \frac{du}{2u-1} = 0$
И вот где-то здесь я ошибаюсь, а где не вижу :(

[Otta]

robot80 в сообщении #752761 писал(а):

замену $u = e^{i t}$, тогда верхний и нижний пределы перейдут в единицу

А значит, это не замена. Хорошая замена должна быть, в частности, биекцией.

[robot80]

Хм, но ведь при $a=1$ всё работает. Или это случайность?
И как тогда считать этот интеграл: по полуокружности, а потом умножить на 2?

-- 07.08.2013, 11:13 --

Или его вообще в лоб сосчитать нельзя? Ну, если число $a$ не совпадает с центром? Собственно для этого формула Коши и потребовалась, наверно...

[Otta]

При $a=1$ замена не нужна, все сокращается. Так, по крайней мере, бывает в норме.

[robot80]

Да, знаю, что не нужна :)
Так как, можно его сосчитать или нет? :)

[Otta]

robot80 в сообщении #752766 писал(а):

Или его вообще в лоб сосчитать нельзя? Ну, если число $a$ не совпадает с центром? Собственно для этого формула Коши и потребовалась, наверно...

В принципе, можно. Первообразная есть, считается, формулу Ньютона-Лейбница применить можно (проверьте). Но зачем? Или задание такое?

Вся проблема в том, что там у Вас попрут логарифмы, а с комплексными логарифмами надо уметь работать.

[robot80]

Хе-хе, я не студент, я хуже - я преподаватель молодой. Сейчас разбираюсь в примерах к лекциям для студентов.
Методологическая идея такая: сосчитать интеграл в принципе известными методами (определённый интеграл от функции действительного переменного) - это будет долго и сложно.
Потом изложить теорему и формулу Коши и показать, что этот же интеграл считается в одну строку.
Вот... стал разбираться, брать примеры не как в учебниках и запутался.

[Otta]

robot80 в сообщении #752771 писал(а):

я хуже - я преподаватель молодой.

А, это хорошо.
Если методологически - не надо Вам его считать через Ньютона-Лейбница, потому что комплексные логарифмы, по логике вещей, материал более тяжелый и рассказывается обычно после.

Для кого Вы рассказываете? Если для математиков, можно пробовать считать его просто по определению, он относительно неплохо считается. Традиционное определение (на всякий случай) - это с помощью разделения вещественной и мнимой частей. Но учтите, что Вы угробите на это полпары (если люди сами будут решать). Я бы пожмотилась.

-- 07.08.2013, 10:59 --

robot80 в сообщении #752771 писал(а):

Методологическая идея такая: сосчитать интеграл в принципе известными методами (определённый интеграл от функции действительного переменного) - это будет долго и сложно.

ЗЫ И еще. Хоть Ваша задумка и привлекательна на первый взгляд, но лучше все же новый материал рассказывать на свежую голову (студента), чем загрузить его с непонятной для него целью технически сложными, но идейно не новыми вещами до полного одурения, а когда он уже одуреет, осчастливить наконец. Велик риск, что этих прелестей уже никто не оценит.

Можно попробовать наоборот: дать формулу, примеры, посчитать, порешать и выделить некоторое время под конец пары, мол, вот интеграл, который вы все умеете уже решать (дружно решаем в одну строчку), а теперь попробуйте ручками. Пять минут пробуем, с подсказками, со всем, - оценили? оценили.

Ну, а Вам решать, как Вы сделаете.

[robot80]

Нет, не для математиков, для студентов технического вуза специальность физические процессы горного или нефтегазового производства.
На разделение действительной и мнимой частей (криволинейные интегралы, да?) у меня пример уже есть
Это должен был быть пример на параметризацию кривой и переход к определённому интегралу.
Если для $a \not= 1$ всё так сложно, то я, может быть, и разберусь с Вашей помощью, а вот студенты пожалуй уснут, а я буду сам с собой у доски разговаривать .
Может, тогда для лекции оставить случай $a=1$, а для остальных значений $a$ сказать что интеграл считается сложно, поэтому мы перейдём к рассмотрению формулы Коши, которая как раз всё легко считает?
Вы рассказываете про логарифмы после интегралов? А чем мотивируете возврат к рассмотрению функций? Просто логично было бы рассмотреть все элементарные функции, а уж потом переходить к производным и интегралам.

[Someone]

Otta в сообщении #752770 писал(а):

Первообразная есть, считается, формулу Ньютона-Лейбница применить можно (проверьте).

Как раз в круге с выколотой точкой первообразной нет... А если бы была, то интеграл был бы равен нулю.
Если его ещё разрезать от выколотой точки до края, то будет.

Otta в сообщении #752770 писал(а):

Вся проблема в том, что там у Вас попрут логарифмы, а с комплексными логарифмами надо уметь работать.

Да. Там за аргументом следить и всё такое прочее.

robot80 в сообщении #752771 писал(а):

Методологическая идея такая: сосчитать интеграл в принципе известными методами (определённый интеграл от функции действительного переменного) - это будет долго и сложно.

Ну, добросовестно вычислите это логарифм, который получается при интегрировании (замену переменной не делайте).

[robot80]

Otta, про Ваше дополнение. Хороший совет, спасибо.

-- 07.08.2013, 12:46 --

Цитата:

Ну, добросовестно вычислите это логарифм, который получается при интегрировании (замену переменной не делайте).

Я не совсем понимаю, как этот логарифм получить, откуда он вообще берётся?

[Otta]

robot80 в сообщении #752784 писал(а):

Вы рассказываете про логарифмы после интегралов? А чем мотивируете возврат к рассмотрению функций? Просто логично было бы рассмотреть все элементарные функции, а уж потом переходить к производным и интегралам.

Вы имеете право делать все, что хотите. Только что Вы собираетесь делать с неоднолистной функцией при интегрировании по контуру , обходящему окрестность точки ветвления с будущими нефтегазовиками и горнистами)), и зачем это нужно, мне очень интересно. :)

Можете провести творческий эксперимент, конечно... но лучше не нана.

Чем мотивирую? Мотивирую областью применимости основных теорем, не зря же они в таком порядке рассказываются.

Слов "считается сложно", по опыту, лучше избегать. Совсем необязательно что-то говорить, в конце концов. Если Вы теоремы доказываете, то интеграл

$$\int_{|z-a|=\rho}\frac{dz}{z-a}$$

Вам понадобится все равно и Вы вынуждены будете рассказывать его, например, в виде леммы. А про остальные можно скромно промолчать, имхо.

-- 07.08.2013, 11:51 --

Someone в сообщении #752785 писал(а):

Как раз в круге с выколотой точкой первообразной нет... А если бы была, то интеграл был бы равен нулю.

Я имела в виду уже интеграл по отрезку. К нему-таки формула НЛ применяется, в отличие от интеграла по контуру. Хотя криво применяется, надо следить, как же выглядит образ отрезка на самом деле.

[robot80]

Мда, наверно лучше действительно оставить только самый простой случай. В конце концов, в большинстве учебников именно он и рассказывается, и это неспроста.

[Otta]

robot80
Разумно.

[Someone]

robot80 в сообщении #752786 писал(а):

Я не совсем понимаю, как этот логарифм получить, откуда он вообще берётся?

$$\int\limits_C\frac{dz}{z-a}=\int\limits_0^{2\pi}\frac{2ie^{i\varphi}d\varphi}{2e^{i\varphi}+1-a}=\operatorname{Ln}\left(2e^{i\varphi}+1-a\right)\Big|_0^{2\pi}=\ln\left\lvert 2e^{i\varphi}+1-a\right\rvert\Big|_0^{2\pi}+i\operatorname{Arg}\left(2e^{i\varphi}+1-a\right)\Big|_0^{2\pi}=2\pi i$$

Подстановка в логарифм модуля даёт, естественно, $0$. Что касается аргумента, то надо нарисовать простенькую картинку, где показать, что при изменении $\varphi$ от $0$ до $2\pi$, то есть, при обходе окружности $C$ в положительном направлении, аргумент увеличивается на $2\pi$.