Существование периодических траекторий ДУ

[srm]

Здравствуйте. Есть ДУ вида $\ddot{x}+b(x)\dot{x}^2+c(x) = 0$. Мне нужно проанализировать при каких ограничениях на коэффициенты ДУ существуют периодические решения данного ДУ с начальными условиями $x(0) = x_0 \in \mathcal{D} \subset \matbb{R}, \dot{x}(0) = 0$. То есть, нужно каким-то образом связать размер интервала $ \mathcal{D}$ с ограничениями на функции $b(x), c(x)$

Один из подходов -- замкнутые периодические траектории будут существовать в некоторой окрестности особых точек типа центр. Тут всё достаточно тривиально. Единственная проблема -- определить размер этой окрестности. Например, уравнение
$\ddot{x}-\dot{x}^{2}+x=0 $.
Понижаем порядок заменой
$y = \dot{x}^2$,
получаем ДУ
$\frac{1}{2}\frac{dy}{dx}-y+x=0$,
его общее решение
$y=x+\frac{1}{2}+c_{1}e^{2x}$.
Начальные условия $y\left(x_{0}\right)=0$: $c_{1}=\left(-x_{0}-\frac{1}{2}\right)e^{-2x_{0}}$. Получается, при $x_0\leq-0.5$ решения будут расходиться. При $0>x_0>-0.5$ будут существовать периодические траектории. Проблема заключается в том, что данный анализ применим лишь в том случае, когда уравнение может быть проинтегрировано аналитически. Как быть с произвольными функциями $ b(x), c(x)$ непонятно.

Другой подход -- искать замкнутые траектории не вблизи одной особой точки, а охватывающие сразу несколько особых точек. Здесь вообще не понятно как быть. Есть, конечно, теорема Пуанкаре–Бендиксона, но судя по всему толку от неё здесь мало...

[Oleg Zubelevich]

Слишком общая задача. Есть общие отрицательные результаты. Если нет положений равновесия то нет и периодических решений; или http://en.wikipedia.org/wiki/Bendixson% ... ac_theorem

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим систему

$$\dot I=g(I,\psi),\quad \dot \psi=f(I,\psi),\quad I\in\mathbb{R}_+$$

Функции $f,g$
$2\pi$-периодичны по $\psi$.

Очевидное наблюдение. Предположим, что $f\ge c>0$ и существует функция $I(\psi)$ такая, что

1) $0<c_1\le I(\psi)\le c_2$
2) $g(I(\psi),\psi)=0$
3) $g(I_+,\psi)<0$ при $I_+>I(\psi)$
4) $g(I_-,\psi)>0$ при $I_-<I(\psi)$

Тогда система имеет периодическую траекторию