тригонометрические суммы

[bayak]

В книге Коробова "Тригонометрические суммы и их приложения" в основном речь идёт об оценках этих сумм по модулю, а мне хотелось бы иметь представление о точном значении суммы:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{\pi n}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(k n^{1-a})n^{ib}.$$

Замечу, что в этой сумме просматривается пилообразная функция

$$|x|_{\pm 1}=\frac{2}{\pi} \sum\limits_1^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(kx).$$

Существует ли какая-нибудь методика (типа Фурье-анализа) вычисления точного значения тригонометрических сумм?

[ИСН]

Неизвестный ряд Фурье является рядом Тейлора от $z=e^{ix}$, а про этот уже можно сказать гораздо больше.

[bayak]

ИСН в сообщении #752321 писал(а):

Неизвестный ряд Фурье является рядом Тейлора от $z=e^{ix}$, а про этот уже можно сказать гораздо больше.

Под неизвестным рядом Фурье Вы имеете в виду неизвестную часть этой двойной тригонометрической суммы? Или я не правильно Вас понял?

[ИСН]

Я имею в виду ситуацию, когда Вам дают какой-то ряд Фурье, непонятно от какой функции, а хочется выяснить, чей он. Вашу задачу не читал, кроме последней фразы.

[bayak]

ИСН в сообщении #752334 писал(а):

Я имею в виду ситуацию, когда Вам дают какой-то ряд Фурье, непонятно от какой функции, а хочется выяснить, чей он.

Однако не факт, что это ряд Фурье от какой-то функции двух переменных.