Определение положительности квадр. формы по значениям

[мат-ламер]

lepetal в сообщении #752291 писал(а):

Давайте ориентироваться на способность решать с ходу вот такие билеты, т.к. здесь всё в кучу, хотя я ещё не собираюсь поступать в ШАД. http://download.yandex.ru/company/shad/exam.pdf

Заинтересовала последняя задача (за остальные пока не брался). Условие: Есть неизвестная нам квадратичная форма в конечномерном пространстве. Задав вопрос, можно узнать значение этой формы в любой точке. Какое минимальное кол-во вопросов надо задать, чтобы убедиться, что эта форма пол. определённая. По моему скромному мнению меньшим, чем счётным числом вопросов не обойдёшься. Какие будут соображения?

[Xaositect]

мат-ламер в сообщении #752310 писал(а):

Заинтересовала последняя задача (за остальные пока не брался). Условие: Есть неизвестная нам квадратичная форма в конечномерном пространстве. Задав вопрос, можно узнать значение этой формы в любой точке. Какое минимальное кол-во вопросов надо задать, чтобы убедиться, что эта форма пол. определённая. По моему скромному мнению меньшим, чем счётным числом вопросов не обойдёшься. Какие будут соображения?

Ну это Вы загнули. С помощью $n + C_n^2$ вопросов можно определить всю квадратичную форму.

[мат-ламер]

Xaositect в сообщении #752312 писал(а):

Ну это Вы загнули.

Я сейчас тоже сам сообразил. Мне показалось, что нам сообщают только знак кв. формы в точке. А зная значение, мы можем вычислить вообще все коэффициенты кв. формы.

[Xaositect]

Да, и меньше нельзя: ответ $Q(v) = a$ дает нам одно линейное ограничение на квадратичную форму, и очевидно доказывается, что на любой прямой в аффинном пространстве $S^2V^*$ всех квадратичных форм есть отрицательно определенные, поэтому нужно получить $\dim S^2V^*$ линейных ограничений.

[мат-ламер]

Всего у кв. формы $n(n+1)/2$ кооэффициентов. И для их определения надо столько же уравнений. (И столько же вопросов). А откуда член $n$ взялся?

[Xaositect]

мат-ламер в сообщении #752317 писал(а):

Всего у кв. формы $n(n+1)/2$ кооэффициентов. И для их определения надо столько же уравнений. (И столько же вопросов). А откуда член $n$ взялся?

Я просто отдельно брал диагональные и недиагональные элементы. $n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$

[Toucan]

Отделено от темы «Самообучение, освежение знаний»