Как исключить "циклические" перестановки?

[druggist]

Под циклическими перестановками я понимаю следующее. Пусть имеется $N$ одинаковых ячеек содержащих по одной различимой частице(такие частицы можно перенумеровать). Полное число " микросостояний", т.е., число перестановок будет $N!$. Разместим ячейки равномерно по окружности. Тогда все "микросостояния", получающиеся из исходного путем поворота окружности как целого на один из N углов, кратных $2\pi/N$, и будут циклическими перестановками, которые надо исключить из общего числа "микросостояний" $N!$.

[EtCetera]

Очевидно, число перестановок ячеек в обруче равно $(N-1)!$.

[druggist]

Переставляются не ячейки, а частицы. Но дело не в этом. Возьмите $N=3$ (жесткий равносторонний треугольник. Здесь все перестановки оказывются "циклическими" и существует только одно "микросостояние". Подозреваю, что в общем случае это чмсло $N!/((N-1)N)$, но вот что-то не соображу, как это показать

[venco]

druggist в сообщении #752187 писал(а):

Переставляются не ячейки, а частицы. Но дело не в этом. Возьмите $N=3$ (жесткий равносторонний треугольник. Здесь все перестановки оказывются "циклическими" и существует только одно "микросостояние".

Два - прямое и обратное.

[ginger_snaps]

druggist в сообщении #752187 писал(а):

Переставляются не ячейки, а частицы. Но дело не в этом. Возьмите $N=3$ (жесткий равносторонний треугольник. Здесь все перестановки оказывются "циклическими" и существует только одно "микросостояние". Подозреваю, что в общем случае это чмсло $N!/((N-1)N)$, но вот что-то не соображу, как это показать

Как єто все перестановки циклические ? Если представить треугольник "стоящий на вершине" 1 а , то тут 2 состояния - справа от вершины "2" или "3"... Тоесть (N-1)! выходит микросостояний.

[ИСН]

Если получаемые отражением тоже эквивалентны, то ещё пополам.

[druggist]

venco в сообщении #752190 писал(а):

Два - прямое и обратное.

Да, ошибся, у нас только поворот в плоскости окружности...Тогда, скорее всего, $N!/(((N-1)N)/2)$

[EtCetera]

Откуда такие ужасы? У цепочки длиной $N$ есть $N+1$ место для вставки новой ячейки, поэтому для нее число перестановок $N!$. У кольца $\text{---}$ всего $N$ мест для вставки, поэтому для него существует только $(N-1)!$ вариант перестановок.

[Deggial]

ginger_snaps в сообщении #752195 писал(а):

Если представить треугольник "стоящий на вершине" 1 а , то тут 2 состояния - справа от вершины "2" или "3"... Тоесть (N-1)!

ginger_snaps, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

[venco]

druggist в сообщении #752223 писал(а):

venco в сообщении #752190 писал(а):

Два - прямое и обратное.

Да, ошибся, у нас только поворот в плоскости окружности...Тогда, скорее всего, $N!/(((N-1)N)/2)$

Откуда такие формулы?
Ответ уже дан: $(N-1)!$ без учёта отражений, и $(N-1)!\over 2$ с отражениями.
Получается просто:
Bсего $N!$ перестановок. Каждая перестановка циклически совместима с $N-1$ другими, т.е. есть $N$ эквивалентных перестановок. Таким образом, полное число неэквивалентных перестановок ${N!\over N}=(N-1)!$.

[druggist]

EtCetera, venco, спасибо за ответ, по-видимому, вы правы. Этот вопрос возник при подсчете "микрсостояний" в различных модельных примерах. В связи с этим еще одна проблемка. Пусть имеется кластер(совокупность, множество) из $m$ различимых частиц. Частицы могут быть связаны попарно ненаправленными связями(линками). Отвлечемся от взаимного пространственного расположения частиц. Будем считать микросостоянием ситуацию, когда каждая частица связана линками с определенными частицами. Очевидно, при перестановках частиц новое микросостояние может возникать, а может и не возникать.Так, если граф сильносвязанный, общее число ребер(линков) $m(m-1)/2$ -каждая из $m$ вершин(частиц) связана с остальными $m-1$ вершинами(частицами), то число микросостояний 1 - при любых перестановках каждя частица будет связана с теми же самыми $m-1$ частицами. В противоположном случае - связи отсутствуют - число микросостояний также 1. Очевидно при какой-то функции распределения вершин(узлов, частиц) по количеству входящих линков будет максимум числа "микросостояний", то есть, какая-то максимальная часть перестановок частиц будет давать новые "микросостояния". Не могу сообразить, что это за функция распределения, будет ли это случайный граф, с гауссовой функцией распределения или граф со степенной функцией распределения узлов по числу входящих ребер.