Вопрос о групповой алгебре конечной группы.

[Konstantce]

Изучаю начала алгебры (по Кострикину), остались некоторые непонятые моменты, никак сам не разберусь.
Буду их излагать здесь в надежде на помощь форума.

В 3 томе в конце 4 главы рассматривается такая теорема о структуре групповой алгебре:
$C[G]=I_1C[G]\bigoplus...\bigoplus I_rC[G]$ , а затем доказывается, что любой неприводимый подмодуль групповой алгебры с характером $\varkappa_i$ принадлежит $I_iC[G]$. Вот почему это так?

Во втором издании учебника (2001 год), непонятное мне место находится на 179 странице в самом верху, начиная со фразы "Непосредственно из (5) следует, что..."

[donny]

я, конечно, приношу извинения за безграмотность, но вы бы хоть не постеснялись и поведали о своих обозначениях, что такое $I_k\mathbb{C}[G]$, что такое $r$. Не скачивать же ради этого книжку Кострикина, согласитесь? Что такое характер модуля, я знаю только характер представления над модулем?

[Konstantce]

Прошу прощения, возможно, действительно стоило расшифровать обозначения.
$r$ - это количество классов сопряжённых элементов данной группы (и соответственно, количество попарно неприводимых представлений).
Пусть $\varkappa_1,...,\varkappa_r$ - характеры данных представлений,
$n_1,...,n_r$ - соответственно степени представлений,
$I_i=\frac {n_i} {|G|} \sum\overline{\varkappa_i(g)}g$ (сумма по всем элементам группы).

Далее, что я (да, и Кострикин!) понимали под характером неприводимого модуля: в нашей групповой алгебре, каждый неприводимый подмодуль является неприводимым векторным пространством, и, следственно, изоморфен какому-то классу пространств представления с характером $\varkappa_i$. Этот характер я и понимал под характером модуля.

Вроде всё... Надеюсь на вашу помощь. Хотя с Кострикиным на руках было бы вам конечно проще - мне не понятен один конкретный шаг в его доказательстве, буквально две строчки, и, сами понимаете, очень сложно описать проблему без ссылки на первоисточник.

[donny]

Ответ на Ваш вопрос может быть следующим. Мы хотим показать, что любой модуль левый $I_k\mathbb{C}[G]$ содержит, левый подмодуль $J_k$, соответствующий характеру $\chi_k$. Допустим это не так. Тогда найдется подмодуль, например $I_1\mathbb{C}[G]$, который не содержит в себе подмодуля $J_1$. Следовательно, существует такой вектор $v\in J_k$, который можно представить в виде суммы $v = \alpha_1 b_1+...+\alpha_2 b_r$, где $\alpha_i\in\mathbb{C}$, $b_i\in I_i\mathbb{C}[G]$. Заметим, что по построению центральные элементы идемпотенты и ортогональны, т.е. $I_i^2=I_i$, $I_jI_k=0, k \ne j$. Элемент $I_k$ действует слева тождественно на подмодуле $I_k\mathbb{C}[G]$, следовательно у него ненулевой след при этом действии. Хотим посчитать след этого элемента на неприводимых представлениях, очевидно, что это $\chi_j(I_i) = \dfrac{n_i}{|G|}\sum\limits_{g\in G}\overline{\chi_i (g)}\chi_j(g) = n_i\delta_{ij}$. Будем действовать элементами $I_k$ при $k>1$на элемент $v$ левыми умножениями. $I_kv = \alpha_k b_k$, т.е. действие в некотором базисе записывается блочной матрицей с одним единичным блоком, а все остальные блоки нулевые, а значит значение характера $\chi_1(I_k)$ ненулевое, что противоречит формуле $\chi_1(I_k) = \dfrac{n_k}{|G|}\sum\limits_{g\in G}\overline{\chi_k (g)}\chi_j(g) = 0$. Следовательно все $\alpha_i, i>1$ равны нулю и модуль $J_1$ целиком лежит в $I_1\mathbb{C}[G]$.

[Konstantce]

Цитата:

т.е. действие в некотором базисе записывается блочной матрицей с одним единичным блоком, а все остальные блоки нулевые

Теперь я в свою очередь извиняюсь за безграмотность и необразованность, но что-то я никак не догоню, про какой базис вы говорите.
Я правильно думаю, что вы рассматриваете базис пространства $J_1$, и $\upsilon$ - один из элементов данного базиса? Почему матрица является блочной?
Не могли бы вы освятить этот момент поподробнее?

[donny]

Цитата:

Я правильно думаю, что вы рассматриваете базис пространства $J_1$

правильно. Выберем произвольный базис $v_1,...v_{n_1}$ в $J_1$. Каждый элемент базиса можно записать в виде $\sum \beta_i b_i$, где $b_i \in I_i\mathbb{C}[G]$. Будем действовать левыми умножениями элементами $I_s$ на элементы этого базиса, в качестве искомого базиса выберем элементы из образов этого действия.

[Konstantce]

Ура, разобрался в итоге. Спасибо большое Вам,donny, за помощь. Ваше рассуждение надоумило на меня на своё доказательство, которое я здесь и изложу. (donny, я это делаю не из неуважения к вашему доказательству, а чтобы лучше разобраться в вопросе, дать новый взгляд на проблему. Это мне пригодится, а может и кому-то после меня ).
Начало доказательства то же самое:

Цитата:

Мы хотим показать, что любой модуль левый $I_k\mathbb{C}[G]$ содержит, левый подмодуль $J_k$, соответствующий характеру $\chi_k$. Допустим это не так. Тогда найдется подмодуль, например $I_1\mathbb{C}[G]$, который не содержит в себе подмодуля $J_1$

Тогда $\exists$ вектор $v\in J_1$, такой что $v\not\in I_1C[G]$. $I_1$, рассматриваемый как линейный оператор над $J_1$, является перестановочным с каждым оператором $g$, а потому по Лемме Шура $I_1J_1=\lambda J_1$, причём $\lambda\not=0$, в силу нетривиальности следа:

donny в сообщении #749030 писал(а):

$\chi_j(I_i) = \dfrac{n_i}{|G|}\sum\limits_{g\in G}\overline{\chi_i (g)}\chi_j(g) = n_i\delta_{ij}$

(в противном случае оператор $I_1$ был бы нулевым на $J_1$, и его след тоже.
С другой стороны $v=b_1+...b_r$, где $b_i\in I_iC[G]$. И значит:
$\lambda v=I_1(v)=I_1(b_1+..+b_r)=b_1$, откуда $v=\frac1\lambda b_1\in I_1C[G]$, ч.т.д.