Дьявольские магические квадраты из простых чисел

[dmd]

xls-файл для комплементарного пандиагонального квадрата 7х7

[Nataly-Mak]

Похоже, конкурс закончился. Все управились за месяц

(Оффтоп)

Цитата:

1 15.00 Jarek Wroblewski Wroclaw, Poland 20 Jul 2013 04:17
2 7.42 Dmitry Kamenetsky Adelaide, Australia 12 Jul 2013 00:11
3 7.29 Wes Sampson La Jolla, California, United States 13 Jul 2013 01:27
4 6.30 Dmitry Ezhov Sterlitamak, Russia 14 Jul 2013 21:09
5 6.04 Valery Pavlovsky Ekaterinburg, Russia 22 Jun 2013 20:28
6 6.04 Roy van Rijn Maassluis, Netherlands 23 Jun 2013 08:53
7 6.04 Aicke Hinrichs Jena, Germany 23 Jun 2013 12:18
8 6.04 Richard Zapor Los Angeles, California, United States 29 Jun 2013 07:39
9 6.04 Chuck Grant Livermore, California, United States 29 Jun 2013 13:25
10 6.04 André Wauters Gent, Belgium 8 Jul 2013 15:29
11 5.83 Shyam Sunder Gupta New Delhi, India 22 Jun 2013 09:06
12 5.83 Yirmy Yasovsky Rehovot, Israel 22 Jun 2013 11:52
13 5.83 Jim Gillogly Long Beach, California, United States 22 Jun 2013 16:47
14 5.34 Lewis Cornwall Middlesbrough, United Kingdom 23 Jun 2013 10:15
15 2.90 James Buddenhagen Xico, Veracruz, Mexico 6 Jul 2013 03:36
16 1.49 Igor Covganet Chisinau, Moldova 17 Jul 2013 15:26
17 1.49 Juris Čerņenoks Riga, Latvia 1 Jul 2013 01:56
18 1.20 Alexander Gettinger Apex, North Carolina, United States 21 Jun 2013 17:55
19 1.20 Joshua Zucker Menlo Park, California, United States 24 Jun 2013 08:15
20 1.09 Eduard Baumann Le Mouret, Switzerland 22 Jun 2013 13:49
21 .97 Gustaf Barfknecht Albuquerque, New Mexico, United States 1 Jul 2013 17:11
22 .82 Kevin Burfitt Melbourne, Australia 22 Jun 2013 10:11
23 .57 Michael Steinau Sierksdorf, Germany 27 Jun 2013 18:11
24 .51 Shiwank Gupta Kanpur, India 7 Jul 2013 13:32
25 .48 Nick Gardner Portsmouth, England, United Kingdom 21 Jun 2013 15:52
26 .48 Evgeni Lukin Ashkelon, Israel 6 Jul 2013 14:09
27 .48 Michael Marchenko Jakarta, Indonesia 20 Jul 2013 09:09
28 .04 William Dockendorf Garland, Texas, United States 26 Jun 2013 15:57
29 .03 Juha Saukkola Helsinki, Finland 28 Jun 2013 19:53
30 .01 Alex Chernov Penza, Russia 23 Jun 2013 11:40

-- Вт июл 23, 2013 05:35:48 --

dmd в сообщении #748393 писал(а):

...для комплементарного пандиагонального квадрата 7х7

dmd
скачала ваш файл, посмотрела.
У кого Excel работает, могут поиграться.
Как я поняла, надо варьировать 5 элементов в жёлтых ячейках и получать различные пандиагональные квадраты, в том числе и нетрадиционные.
Только надо говорить не о "комплементарных пандиагональных квадратах", а о пандиагональных квадратах, составленных (построенных) из комплементарных пар чисел.
К таким квадратам относятся, например, все классические пандиагональные квадраты. Ещё к ним относятся идеальные и совершенные нетрадиционные магические квадраты. А теперь я нашла примеры нетрадиционных пандиагональных квадратов 7-го порядка, которые тоже относятся к этому виду, но не являются идеальными. Можно предположить, что аналогичные квадраты существуют и для других порядков.
Термина "комплементарный пандиагональный квадрат" я не встречала.

[Nataly-Mak]

Просматриваю старые черновые статьи по пандиагональным квадратам из простых чисел.
В одной статье нашла второй потенциальный массив для построения пандиагонального квадрата 6-го порядка из последовательных простых чисел. Покажу заодно и известный массив для магической константы $S=930$ (A073523).

S=930 
67  71  73  79  83  89  97  101  103  107  109  113  127  131  137  139  149  151  157  163  167  173  179  181  191  193  197  199  211  223  227  229  233  239  241  251
 
S=1494 
151  157  163  167  173  179  181  191  193  197  199  211  223  227  229  233  239  241  251  257  263  269  271  277  281  283  293  307  311  313  317  331  337  347  349  353 

Потенциальный массив для магической константы $S=1494$ не проверен, хотя в то время пыталась это сделать (о чём написано в статье), программа работает долго. Можно попытаться ещё раз.

-- Вт июл 23, 2013 06:36:06 --

И следующие потенциальные массивы:

(Оффтоп)

S=3774 
509  521  523  541  547  557  563  569  571  577  587  593  599  601  607  613  617  619  631  641  643  647  653  659  661  673  677  683  691  701  709  719  727  733  739  743
 
S=8118 
1223  1229  1231  1237  1249  1259  1277  1279  1283  1289  1291  1297  1301  1303  1307  1319  1321  1327  1361  1367  1373  1381  1399  1409  1423  1427  1429  1433  1439  1447  1451  1453  1459  1471  1481  1483  

S=9318 
1439  1447  1451  1453  1459  1471  1481  1483  1487  1489  1493  1499  1511  1523  1531  1543  1549  1553  1559  1567  1571  1579  1583  1597  1601  1607  1609  1613  1619  1621  1627  1637  1657  1663  1667  1669 

S=9402 
1451  1453  1459  1471  1481  1483  1487  1489  1493  1499  1511  1523  1531  1543  1549  1553  1559  1567  1571  1579  1583  1597  1601  1607  1609  1613  1619  1621  1627  1637  1657  1663  1667  1669  1693  1697 
 
S=9486 
1459  1471  1481  1483  1487  1489  1493  1499  1511  1523  1531  1543  1549  1553  1559  1567  1571  1579  1583  1597  1601  1607  1609  1613  1619  1621  1627  1637  1657  1663  1667  1669  1693  1697  1699  1709

-- Вт июл 23, 2013 06:41:15 --

Ещё такой пандиагональный квадрат 7-го порядка из простых чисел нашла в черновых статьях:

113 67 443 439 31 149 191
379 101 89 281 43 317 223
211 293 97 163 449 41 179
233 389 131 109 461 73 37
359 241 13 107 173 479 61
47 263 409 311 139 181 83
91 79 251 23 137 193 659

$S=1433$
Не спешите вводить решение на конкурс
В квадрате есть одно не простое число.

И наконец, заготовка для построения пандиагонального квадрата 10-го порядка по решёткам. Здесь три пандиагональных квадрата 5-го порядка с магической константой $S=1765$

3  271  787  61  643 
 709  13  641  173  229 
 811  131  151  661  11 
 103  659  181  769  53 
 139  691  5  101  829 

7  673  599  43  443 
 463  29  433  607  233 
 1033  167  97  449  19 
 83  439  619  593  31 
 179  457  17  73  1039 

23  631  557  223  331 
 467  157  283  491  367 
 751  227  277  401  109 
 211  353  577  487  137 
 313  397  71  163  821 

Найдите четвёртый пандиагональный квадрат 5х5 с такой же магической константой, но составленный из других простых чисел (не повторяющих те числа, которые уже есть в трёх приведённых квадратах) и пандиагональный квадрат 10-го порядка с магической константой $S=3530$ будет готов
Мне это сделать не удалось. Таких заготовок я получала очень много, но улучшить результат Pavlovsky ($S=3594$) не смогла.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #748491 писал(а):

Похоже, конкурс закончился. Все управились за месяц

Некоторые еще не начинали.

[Nataly-Mak]

Как я уже писала, сейчас занимаюсь поиском наименьшего ассоциативного квадрата Стенли 8-го порядка из простых чисел.
Из такого квадрата можно получить совершенный магический квадрат (правда, не из любого).

Меня заинтересовала общая формула соверешнного магического квадрата 8-го порядка. Совершенные квадраты тоже составляются из пар комплементарных чисел, но расположены эти пары в строго определённом порядке (см. далее). Совершенные квадраты являются пандиагональными квадратами с некоторыми дополнительными свойствами (точное определение можно найти в моей статье о совершенных квадратах).
Приведу пример классического совершенного квадрата 8-го порядка:

1 63 3 61 12 54 10 56
16 50 14 52 5 59 7 57
17 47 19 45 28 38 26 40
32 34 30 36 21 43 23 41
53 11 55 9 64 2 62 4
60 6 58 8 49 15 51 13
37 27 39 25 48 18 46 20
44 22 42 24 33 31 35 29

Общую формулу получить весьма интересно, вдруг в этой формуле, как и в только что полученной формуле для квадратов 7-го порядка, будет очень мало независимых переменных. Однако описать совершенный квадрат системой уравнений не совсем просто, точнее, я не уверена, что сделала это правильно.
Вот расположение элементов в квадрате ($k$ - константа комплементарности; $S=4k$):

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x9 
x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16
x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24
x25 x26 227 x28 x29 x30 x31 x32
k-x5 k-x6 k-x7 k-x8 k-x1 k-x2 k-x3 k-x4
k-x13 k-x14 k-x16 k-x9 k-x10 k-x11 k-x12
k-x21 k-x22 k-x23 k-x24 k-x17 k-x18 k-x19 k-x20
k-x29 k-x30 k-x31 k-x32 k-x25 k-x26 k-x27 k-x28

Здесь вопросов нет.
А это система уравнений, описывающая совершенный квадрат 8-го порядка:

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=4k
x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16=4k
x17+x18+x19+x20+x21+x22+x23+x24=4k
x25+x26+x27+x28+x29+x30+x31+x32=4k
x1+x9+x17+x25-x5-x13-x21-x29=0
x2+x10+x18+x26-x6-x14-x22-x30=0
x3+x11+x19+x27-x7-x15-x23-x31=0
x4+x12+x20+x28-x8-x16-x24-x32=0
x1+x8-x28-x29=0
x1+x2-x29-x30=0
x2+x3-x30-x31=0
x3+x4-x31-x32=0
x4+x5-x32-x25=0
x5+x6-x25-x26=0
x6+x7-x26-x27=0
x7+x8-x27-x28=0
x1+x9+x8+x16=2k
x9+x17+x16+x24=2k
x17+x25+x24+x32=2k
x5+x13+x4+x12=2k
x13+x21+x12+x20=2k
x21+x29+x20+x28=2k

dmd
пожалуйста, поработайте ещё немного для науки
Что скажет программа об этой системе уравнений?
Повторюсь: я не уверена, что составила систему правильно.
Дело в том, что в совершенном магическом квадрате сумма чисел в любом квадрате 2х2 равна одному и тому же числу - $2k$. Я записала только граничные суммы. Не знаю, достаточно ли этого.

P.S. Мной построен единственный совершенный квадрат 8-го порядка из различных простых чисел с магической константой $S=24024$. Сейчас я пытаюсь найти квадрат с меньшей магической константой.

[dmd]

k = (x30 + x31 + x6 + x7)/2
x3 = x31 + x32 - x4
x29 = x30 + x31 - x32 - x5 + x6 + x7 - x8
x28 = x32 - x4 + x8
x27 = -x32 + x4 + x7
x26 = x32 - x4 + x6
x25 = -x32 + x4 + x5
x20 = -x21 + x4 + x5
x2 = x30 - x32 + x4
x18 = -x19 - x22 - x23 + x30 + x31 + x6 + x7
x17 = -x24 + x30 + x31 - x4 - x5 + x6 + x7
x16 = x4 + x5 - x9
x14 = -x15 - x22 - x23 + x30 + x31 + x6 + x7
x13 = -x21 - x24 + x30 + x31 - x4 - x5 + x6 + x7 + x9
x12 = x21 + x24 - x9
x11 = x15 - x19 + x23
x10 = -x15 + x19 + x22
x1 = x30 + x31 - x4 - x5 + x6 + x7 - x8

[Nataly-Mak]

Спасибо.
Неплохо получилось. Осталось проверить, будет ли формула давать совершенные квадраты.

[dmd]

Эта система недорешена, т.к. недоописана. В полностью описанной системе количество независимых переменных сократится.

[Nataly-Mak]

Почему вы так думаете?
Магичность и пандиагональность я описала полностью.
Не описано только условие, что сумма чисел в любом квадрате 2х2 равна одному и тому же числу - $2k$. Но я записала граничные суммы.

Сейчас проверю формулу. Если совершенный квадрат не получится, придётся дописывать в систему уравнения. Тогда уравнений будет намного больше.

[dmd]

Ну так ни из чего не следует, что только граничные суммы полностью описывают систему. Нужны все суммы 2х2. Тогда количество независимых переменных сократится до 8.

На счет пандиагональности не понял. Это квадрат-загатовка, из которого пандиагональный получится неким преобразованием, или это уже пандиагональный квадрат? Если уже, то я не вижу описания ломанных диагоналей.

-- Вт июл 23, 2013 22:23:20 --

А, извиняюсь, теперь вижу, что для диагоналей не нужны формулы. В каждой диагонали переменные сокращаются, остаётся только 4k

[Nataly-Mak]

dmd в сообщении #748685 писал(а):

Ну так ни из чего не следует, что только граничные суммы полностью описывают систему. Нужны все суммы 2х2. Тогда количество независимых переменных сократится до 8.

Возможно, что это так. Проверяю. Я это предполагала, что граничные суммы могут быть недостаточны.

Цитата:

На счет пандиагональности не понял. Это квадрат-загатовка, из которого пандиагональный получится неким преобразованием, или это уже пандиагональный квадрат? Если уже, то я не вижу описания ломанных диагоналей.

Это уже пандиагональный квадрат. Посмотрите на схему квадрата. Суммы во всех диагоналях, как в главных, так и в ломаных, получаются автоматически.

-- Вт июл 23, 2013 22:03:35 --

Проверила. Увы, суммы во всех квадратах 2х2 не получились.
Лень было писать все эти уравнения, но придётся
А так всё замечательно: квадрат пандиагональный и граничные суммы получаются.

[dmd]

чуть ошибся в прогнозе, не 8, а 9 переменных получилось

k = (x1 + x2 + x5 + x6)/2
x7 = x1 - x3 + x5
x8 = x2 - x4 + x6
x10 = x5 + x6 - x9
x11 = x1 - x3 + x9
x12 = x2 - x4 + x5 + x6 - x9
x13 = x1 - x5 + x9
x14 = x2 + x5 - x9
x15 = x3 - x5 + x9
x16 = x4 + x5 - x9
x18 = x1 - x17 + x2
x19 = -x1 + x17 + x3
x20 = x1 - x17 + x4
x21 = -x1 + x17 + x5
x22 = x1 - x17 + x6
x23 = x17 - x3 + x5
x24 = x1 - x17 + x2 - x4 + x6
x26 = -x25 + x5 + x6
x27 = x1 + x25 - x3
x28 = x2 - x25 - x4 + x5 + x6
x29 = x1 + x25 - x5
x30 = x2 - x25 + x5
x31 = x25 + x3 - x5
x32 = -x25 + x4 + x5

[Nataly-Mak]

Вот построенный по формуле вручную квадрат из произвольных натуральных чисел:

43 126 66 104 53 60 56 108
54 57 61 55 96 152 38 103
111 138 52 88 69 43 75 40
112 1 115 49 102 67 125 45
101 94 98 46 111 28 88 50
58 2 116 51 100 97 93 99
85 111 79 114 43 16 102 66
52 87 29 109 42 153 39 105

Поскольку независимые переменные выбраны произвольно и повторяемость зависимых элементов не проверялась программно, в квадрате получились одинаковые числа.

О! вы уже всё решили. Спа-а-а-сибо!
А я собиралась дописывать уравнения в систему.

Скажите, а вы писали суммы для квадратов 2х2, расположенных на горизонтальной оси симметрии квадрата?
Например:

x25+x26+k-x5+k-x6=2k 

В этих квадратах не надо суммы записывать, они получаются из того, что есть граничные суммы.

При заданном $k$ получается всего 8 независимых переменных. Здорово!
А при заданных комплементарных парах чисел $k$ всегда известно (это сумма чисел в паре).
Проверять формулу буду завтра. Если она верная, сразу напишу программную реализацию и буду искать совершенный квадрат из простых чисел с меньшей магической константой.
При 8 независимых переменных программа должна быстро работать.

[dmd]

Nataly-Mak в сообщении #748712 писал(а):

Скажите, а вы писали суммы для квадратов 2х2, расположенных на горизонтальной оси симметрии квадрата?

В этих квадратах не надо суммы записывать, они получаются из того, что есть граничные суммы.

Это я заметил и не писал. Но если бы написал, то на решение это не повлияло бы.

xls-файл для проверки таких квадратов 8х8.

[Nataly-Mak]

dmd
отличную формулу мы с вами изобрели
Ещё раз благодарю вас за помощь в решении (и составлении) системы уравнений.

Программу написала, классический совершенный квадрат построился мгновенно, квадрат из произвольных натуральных чисел тоже мгновенно.
Покажу из произвольных натуральных чисел:

 1  98  3  95  8  93  6  96 
 16  85  14  88  9  90  11  87 
 17  82  19  79  24  77  22  80 
 32  69  30  72  25  74  27  71 
 92  7  94  4  99  2  97  5 
 91  10  89  13  84  15  86  12 
 76  23  78  20  83  18  81  21 
 75  26  73  29  68  31  70  28 
S=400

[суммы чисел проверила, конечно, не во всех квадратах 2х2 и в программе не заложила эту проверку; надеюсь, что формула обеспечила выполнение этого условия]

Сейчас наступает самая волнующая часть эксперимента - построение совершенного квадрата из различных простых чисел. Сначала протестирую программу на известном квадрате ($S=24024$). Если этот квадрат построится, можно праздновать победу
Конечно, окончательной победой будет квадрат с меньшей магической константой. Но такой, может быть, и вообще не существует.

А мысли уже побежали к совершенному квадрату 10-го порядка. Такой квадрат из простых чисел мне пока не известен. По-моему, его ещё никто не построил. В рамках конкурса, проведённого на форуме, это пытался сделать alexBlack. Но то ли не получилось, то ли просто бросил задачу... решение он мне не прислал.

Кстати, головоломка о совершенных квадратах из простых чисел:
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_671.htm

Господа и товарищи! Прошу немножко помочь
Головоломка-то стоящая. Совершенный квадрат 10-го порядка из различных простых чисел кто построит? Тому дам пирожок с капустой

А очень интересно: сколько независимых переменных будет в общей формуле для совершенного квадрата 10-го порядка
Всего переменных 50 (при заданном $k$).

-- Ср июл 24, 2013 08:54:58 --

Очень волновалась при выполнении следующей части эксперимента
Массив состоит из 195 комплементарных пар простых чисел, то есть всего в массиве 390 чисел. Солидный массив.
$k=6006$

Итак, запустила программу, жду... Квадрат появился примерно через 10 секунд!
Поскольку это решение является решением конкурсной задачи, хотя и очень плохим, покажу его в "проверялке" mertz



При этом квадрат получился не эквивалентен тому квадрату, который построен мной давно.

Перехожу к третьей части эксперимента - поиску квадрата с меньшей магической константой. Если такой квадрат существует в природе, я должна его найти