Неотрицательность многочлена от двух переменных

[FarBeyondDriven]

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться. Дан многочлен степени $n$ от двух переменных (в общем виде; член нулевой степени отсутствует). Существует ли общий критерий или условие, по которому можно определить, является ли многочлен неотрицательным при любых значениях переменных? Я так понимаю, это условие как-то связано с отсутствием действительных корней (за исключением нуля).

[Deffe]

Раз функция непрерывна, то если она не принимает нулевого значения, тогда все ее значения одного знака.

[provincialka]

Если у многочлена нет других корней, кроме 0, онсохраняет знак. Если же есть, то ничего заранее утверждать нельзя. Можно, например, исследовать каждый корень на экстремум (для неотрицательной функции нули должны быть минимумами).

[FarBeyondDriven]

provincialka в сообщении #748348 писал(а):

Если у многочлена нет других корней, кроме 0, онсохраняет знак. Если же есть, то ничего заранее утверждать нельзя. Можно, например, исследовать каждый корень на экстремум (для неотрицательной функции нули должны быть минимумами).

Да, я тоже об этом думал. Получается, что у многочлена должен быть единственный действительный корень в нуле, причем в этой точке должен достигаться минимум.
И всё же, получается, что нужно рассматривать конкретный многочлен? С учетом этого, попробую немного изменить вопрос: возможно ли составить такой неотрицательный многочлен от двух переменных, который содержал не только четные, но и нечетные степени? (Выбор коэффициентов произволен)

[Otta]

FarBeyondDriven в сообщении #748371 писал(а):

Да, я тоже об этом думал. Получается, что у многочлена должен быть единственный действительный корень в нуле, причем в этой точке должен достигаться минимум.

Не получается. Например, многочлен $(x-y)^2$ неотрицателен.

FarBeyondDriven в сообщении #748371 писал(а):

С учетом этого, попробую немного изменить вопрос: возможно ли составить такой неотрицательный многочлен от двух переменных, который содержал не только четные, но и нечетные степени?

Да, конечно. Это возможно даже для многочлена от одной переменной. Например, $P(t)=t^2(t+1)^2$. Подставьте вместо $t$ любой многочлен от двух переменных, а для наглядности - любой моном, и увидите.

[sergei1961]

Это частный случай знаменитой проблемы Гильберта, если я правильно помню: можно ли данный неотрицательный многочлен представить в виде суммы действительных квадратов?
Про это многое известно, но сложный вопрос.

[FarBeyondDriven]

Цитата:

Да, конечно. Это возможно даже для многочлена от одной переменной. Например, $P(t)=t^2(t+1)^2$. Подставьте вместо $t$ любой многочлен от двух переменных, а для наглядности - любой моном, и увидите.

Спасибо, понял. То есть, нужно разложить искомый многочлен на "квадраты"? Причем, как я думаю, некоторые члены придётся отсеять.

Цитата:

Это частный случай знаменитой проблемы Гильберта, если я правильно помню: можно ли данный неотрицательный многочлен представить в виде суммы действительных квадратов?
Про это многое известно, но сложный вопрос.

Хорошо, посмотрим.

[g______d]

sergei1961 в сообщении #748381 писал(а):

Это частный случай знаменитой проблемы Гильберта, если я правильно помню: можно ли данный неотрицательный многочлен представить в виде суммы действительных квадратов?
Про это многое известно, но сложный вопрос.

Да, можно начать с википедии: http://en.wikipedia.org/wiki/Positive_polynomial. В частности, даже для двух переменных она неверна в $\mathbb R^2$. Но всегда можно представить суммой квадратов рациональных функций.

[sergei1961]

Да, если многочлен -сумма квадратов, то он неотрицателен. Но как показано в процитированных примерах (или книге Соловьёва) обратное неверно. Мне кажется, вопрос был поставлен именно в такой форме: как по многочлену определить, является ли он неотрицательным. Сумма квадратов-это один из способов, но он не для всех, и с ним самим проблемы. Минимум-это решение полиномиальной системы уравнений, малореально. Мне кажется, таких эффективных способов не существует.

[g______d]

Зависит от того, что хочется изначально. Например, бывает задача о положительном многочлене на ограниченном подмножестве $\mathbb R^n$, заданном системой полиномиальных неравенств (полуалгебраическом множестве) и там ответ в некотором смысле положительный. В этом направлении много сделано и есть много красивых результатов. В частности, есть аналог теоремы Гильберта о нулях, который можно назвать "теоремой Гильберта о положительности", ключевые слова Positivstellensatz и Semi-algebraic Geometry.

И многих людей, которые этим занимаются, интересуют как раз вычислительные аспекты. Проверка представимости в виде суммы квадратов – это хоть в какой-то степени "дискретная" задача, в отличие от проверки положительности.