Определить коэффициенты математической модели

[Beam]

Здравствуйте. Я столкнулся с необходимостью определить коэффициенты $a_1, a_2, a_3$ в математической модели, которая выражается следующим уравнением:

$y = a_1 + a_2(273,15 + x)^{a_3}$

Значения у и х я знаю, но как определить коэффициенты "а"? Я предполагал, что их можно найти с помощью программы STATISTICA через множественную регрессию, но у меня ничего не вышло. Подскажите, пожалуйста.

[Vince Diesel]

Есть нелинейный метод наименьших квадратов. Не знаю, как статистика, но некоторые матпакеты умеют находить.

[Beam]

Спасибо за то, что подсказали каким методом это решается. Благодаря вам нашёл такой вот калькулятор http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/teoriya-veroyatnosti/method-naimenshih-kvadratov/, правда не знаю устроит ли меня такая точность апроксимации.

[Александрович]

В Эксель решается при помощи "Поиск решения".

[Евгений Машеров]

В Статистике это "нелинейная регрессия".
Statistics\Advanced Linear/Nonlinear Models\Nonlinear Estimation\User-Specified Regression (least square)

[timots]

Почему именно такая модель Вас интересует? Нельзя ли перейти к боле известной модели? Например:
$ y=(C_1+C_2x)e^{-px}$
Сюда можно подставить и 273,15.

[Евгений Машеров]

Обычно всё же целесообразнее исходить из (известной с точностью до параметров) физической модели процесса. Если таковой нет - можно выбирать между похожими, ориентируясь на область определения аргумента, принятие положительных-отрицательных значений (возможно ли вообще?), асимптотическое поведение,убывание-возрастание в зависимости от аргумента.
Ну а уж вопросы вычислительной простоты - это последний аргумент.
Если физмодель соответствует предложенной топикстартером - нечего её менять, если физмодели нет, и мы просто подгоняем к данным - можно и предложенную timots рассмотреть, но отчего она предпочтительнее?
Аргументов в пользу одного из выражений, опирающихся на данные, нет (как и вообще данных), а в вычислительном отношении "оба Луя примерно в одну цену", обе существенно нелинейны (в смысле нет простого линеаризующего преобразования). Причём в случае первой можно оценить $a_1$, то ли из содержательных соображений (скажем, как асимптотическое значение y при x, стремящемся к абсолютному нулю - это ведь температуры?), а затем работать с $u=y-a_1$, логарифмируя выражение, что даёт линейную регрессию от логарифмов, то ли перебирая разные значения $a_1$ по частой сетке или же рассматривая, как одномерную задачу оптимизации по, скажем, коэффициенту корреляции в парной регрессии логарифмов переменных. В случае второй модели можно аналогично использовать p, то ли из содержательных соображений, то ли так же перебирая.
Впрочем, для случая однократного нахождения можно обойтись стандартными статпакетами.

[timots]

Странная модель. Что такое $ a_1$? Оно ведь не зависит от $ x, y$. Просто что то надо добавить к функции от $ x$ чтобы получить $ y$. Это что начальное условие? Тогда автор вопроса должен знать его значение. И вопрос отпадает.

[Евгений Машеров]

$a_1$ это параметр модели, такой же, как $a_2$ и $a_3$. Подлежащий оценке.
С меня фуражка прапорщика Ясненько не слетела?

[timots]

Евгений Машеров
Понятно. Параметры модели, которые нужно отыскать. К тому же постоянные. В итоги мы имеем уравнение с тремя неизвестными.

[Beam]

Александрович
Оказалось, что у меня не стоит эта надстройка в Excel. Надо будет попробывать.
Евгений Машеров
Большое спасибо! Никак не мог найти, где же это сделать в Статитстике. Теперь понял :)
timots
Данная модель мною используется для описания функциональных зависимостей между температурой воздуха (х) и его плотностью (у) в диапазоне температур воздуха от 0 до 100°С. Та модель которую Вы привели, для чего она?

[timots]

То, что Ваша модель связана с температурой я понял по веденной в формулу константе. То, что я предлагаю это скорее метод, который годится для любого случая, где надо найти зависимость между двумя линейно независимыми величинами. Дифференцируем уравнение
$ y=(C_1+C_2x)e^{-p}$
$ y’=C_2e^{-px}-p(C_1+C_2x)e^{-px}$
при $ p=\operatorname{const}$ для каждого $ x, y$ получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, которая однозначно разрешима. Но вот беда при изменении $ x, y$ изменяются и коэффициенты $ C_1,C_2$ . Если же взять $ C_1,C_2$ постоянными то тогда будет изменятся $ p$. Проблема бы решилась, если бы $ x, y$ были линейно зависимы.
Если Вы надеялись с помощью Вашей формулы, найти какую либо линейную зависимость то, как говорится флаг в руки.

[Александрович]

Beam в сообщении #748731 писал(а):

Александрович
Оказалось, что у меня не стоит эта надстройка в Excel.

В надстройках поставьте галочку у Поиск Решения.